1. Тип 14 № 515648 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а)
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим число 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 515648
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Домножение на знаменатель с учётом ОДЗ
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
б) 
Получим числа: 
б) 
то 
откуда 
то 
откуда 
или 
имеет корни 
Учитывая, что 
получаем: 
откуда 
откуда 
и 
б) 
тогда 
откуда 
или 
:
и 
б) 
при помощи тригонометрической окружности. Подходят: 
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к положительному числу, поэтому исследовать ОДЗ не требуется. 
откуда получаем 
откуда 
или 
находим: 
или 
находим: 
Получим числа: 
б)
тогда имеем: 
Получим число 
б) 
Получаем: 
получаем 
и 
б) 
Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к единице, поэтому исследовать ОДЗ не требуется. 
откуда получаем 
Обозначая 
имеем:
корней не имеет, поскольку косинус не больше 1. 
находим: 
или 
б) 
тогда имеем:
б) 
которому соответствует корень 
б) 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получим числа 
и 
б) 
то есть 
При этих условиях применим к правой части формулу 
и получим равносильное уравнение
б) корней нет.
или 
то аргументы обоих логарифмов в исходном уравнении положительны. Следовательно, эти серии дают решения уравнения для всех целых k. Если 
или 
то логарифмы не определены.
при помощи единичной окружности (см. рис.). Получим числа 
и 
б) 
б) 
получим:
найдем при помощи тригонометрической окружности. Получим 
б) 
(⁎). Имеем:
равна π, поэтому из найденной серии решений в отрезок может попасть не более одного корня. Следовательно, число 
соответствующее 
б) 
б) 
При этом условии исходное уравнение равносильно следующим:
б) 
При таких условиях числитель должен быть равен нулю:
б) 
положительно и отлично от единицы при условиях 
При этих условиях уравнение эквивалентно следующим:
и 
получим 
что не удовлетворяет условию. При 
получим 
что также не удовлетворяет условию. Следовательно, условию эквивалентности удовлетворяет только 
б) 
При этом условии уравнение эквивалентно совокупности:
при помощи двойного неравенства:
б) 
Последнее условие означает, что 
оно выполнено при всех значениях переменной. Условие 
эквивалентно условию 
что верно, если одновременно 
и 
и 
поэтому при переходе к основаниям 
и 
не произойдет потери решений. Получаем
тогда 
а значит, левая часть уравнения записывается в виде
б) 
равна 2π. Расстояние между членами серии 
также равно 2π, причем никакое из них не совпадает с концами отрезка. Следовательно, в отрезок попадает лишь одно число из найденной серии. Это число 
б) 
и 
при помощи тригонометрической окружности. Подходят: π, 
2π.
б) π, 
б) π, 
2π.
отличен от нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:
отберем корни при помощи двойного неравенства: 
Преобразуем его при этом условии:
б) 
и 
б) 
Преобразуем уравнение с учетом этого условия.
б) 
на тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем: 
и 
б) 
длиной 1,5π попадает не более одного корня. Ясно, что этот корень равен 
б) 
а 
следовательно, 
Тогда исходное уравнение примет вид:
зеленым — промежуток 
фиолетовыми точками показаны корни 
розовыми — корни 
синими — полученные корни данного уравнения (см. рис.). Из рисунка видно, что решением является только серия 
либо равно нулю, либо на него можно сократить обе части уравнения:
находим: 
тогда
