Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 542039
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние \log _2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \log _2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

\log _2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \log _2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1\Rightarrow \log _2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k новая стро­ка 2x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z.

Пер­вый шаг в ре­ше­нии был пе­ре­хо­дом к след­ствию, по­это­му могли по­явить­ся по­сто­рон­ние корни. Сде­ла­ем про­вер­ку: если x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k или x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k, то ар­гу­мен­ты обоих ло­га­риф­мов в ис­ход­ном урав­не­нии по­ло­жи­тель­ны. Сле­до­ва­тель­но, эти серии дают ре­ше­ния урав­не­ния для всех целых k. Если x= дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k или x= дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k, то ло­га­риф­мы не опре­де­ле­ны.

б)  Най­дем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим числа дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 309 (часть 2)
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов, Фор­му­лы двой­но­го угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025