ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 650209 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Заметим, что уравнение определено при $0 меньше косинус x меньше 1.$ Преобразуем уравнение с учетом этого условия.

$логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3 косинус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 = 3 косинус в степени 4 x равносильно 3 левая круглая скобка синус в квадрате x минус косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x плюс 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 3 косинус 2x плюс 1 = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 1, косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = 2 Пи k, 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3 косинус в степени 4 x равносильно 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 = 3 косинус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка синус в квадрате x минус косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x плюс 2 = 0 равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 3 косинус 2x плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x = 1, косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x = 2 Пи k, 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка левая круглая скобка 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка 3 косинус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 3 синус в степени 4 x плюс косинус 4 x плюс 2 = 3 косинус в степени 4 x равносильно$
$равносильно 3 левая круглая скобка синус в квадрате x минус косинус в квадрате x правая круглая скобка левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс синус в квадрате x правая круглая скобка плюс косинус 4x плюс 2 = 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 3 косинус 2x плюс 1 = 0 равносильно совокупность выражений косинус 2x = 1, косинус 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x = 2 Пи k, 2x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Условию на $косинус x$ удовлетворяют только корни $x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи двойных неравенств:

$минус 3 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 11, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k принадлежит левая фигурная скобка минус 1,0 правая фигурная скобка .$

Этим значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

$минус 3 Пи меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно k меньше или равно дробь: числитель: 13, знаменатель: 12 конец дроби равносильно k принадлежит левая фигурная скобка минус 1,0,1 правая фигурная скобка .$

Этим значениям k соответствуют корни $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источники:

А. Ларин. Тренировочный вариант № 447;

А. Ларин. Тренировочный вариант № 487.

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Основное тригонометрическое тождество и его следствия

Методы алгебры: Использование основного тригонометрического тождества и следствий из него

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь