В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
а) Заметим, что при проецировании на плоскость ABCD точка S проецируется в точку O. Поэтому проекция SC это OC, значит, проекция L тоже лежит на OC и проекция LO тоже прямая OC. Поскольку 
как диагонали квадрата, по теореме о трех перпендикулярах 
б) Сразу отметим, что 
поэтому 
Введем координаты, направив оси из точки O параллельно сторонам квадрата и через вершину S. Обозначая высоту пирамиды за 2h, находим координаты точек B (2, 2, 0), C (-2, 2, 0), A (2, -2, 0), S (0, 0, 2h), L (-1, 1, h). Тогда 
Посчитаем угол между этими векторами:
Решая уравнение, находим 
и высота пирамиды 
Тогда апофема 
и площадь поверхности 
Ответ: 80.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |