В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
а) Заметим, что при проецировании на плоскость ABCD точка S проецируется в точку O. Поэтому проекция SC это OC, значит, проекция L тоже лежит на OC и проекция LO тоже прямая OC. Поскольку 
как диагонали квадрата, по теореме о трех перпендикулярах 
б) Сразу отметим, что 
, поэтому 
Введем координаты, направив оси из точки O параллельно сторонам квадрата и через вершину S. Обозначая высоту пирамиды за 2h, находим координаты точек B (2, 2, 0), C (-2, 2, 0), A (2, -2, 0), S (0, 0, 2h), L (-1, 1, h). Тогда 
, 
Посчитаем угол между этими векторами:
Решая уравнение, находим 
и высота пирамиды 
Тогда апофема 
и площадь поверхности 
Ответ: 80.
