Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 514723

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен  дробь: числитель: 2 корень из (34) , знаменатель: 17 конец дроби .

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что при проецировании на плоскость ABCD точка S проецируется в точку O. Поэтому проекция SC это OC, значит, проекция L тоже лежит на OC и проекция LO тоже прямая OC. Поскольку OC\perp OB как диагонали квадрата, по теореме о трех перпендикулярах LO\perp OB.

б) Сразу отметим, что  тангенс в квадрате x плюс 1= дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби , поэтому  косинус \angle(BL,SA)= дробь: числитель: корень из (17) , знаменатель: 5 конец дроби . Введем координаты, направив оси из точки O параллельно сторонам квадрата и через вершину S. Обозначая высоту пирамиды за 2h, находим координаты точек B (2, 2, 0), C (-2, 2, 0), A (2, -2, 0), S (0, 0, 2h), L (-1, 1, h). Тогда \overlineBL=\ минус 3, минус 1,h\, \overlineAS=\ минус 2,2,2h\.

Посчитаем угол между этими векторами:

 косинус \varphi= дробь: числитель: 4 плюс 2h в квадрате , знаменатель: корень из (10 плюс h в квадрате ) корень из (8 плюс 4h в квадрате ) конец дроби = дробь: числитель: корень из (2 плюс h в квадрате ) , знаменатель: корень из (10 плюс h в квадрате ) конец дроби = дробь: числитель: корень из (17) , знаменатель: 5 конец дроби .

Решая уравнение, находим h в квадрате =15 и высота пирамиды SO=2 корень из (15) . Тогда апофема SH= корень из (60 плюс 4) =8 и площадь поверхности S_пов=4 в квадрате плюс 4 умножить на дробь: числитель: 8 умножить на 4, знаменатель: 2 конец дроби =80.

 

Ответ: 80.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 513276: 514723 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016