PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 35, AD = 12, CC1 = 21.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Решение. а) Проведем высоту AH в треугольнике ABD. Поскольку проекция прямой
на плоскость ABCD это прямая AH, то 
по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, высоты треугольников ABD и A1BD имеют общее основание H.
б) Из треугольника ABD находим
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
отрезок BD — средняя линия (так как параллелен 
и равен его половине), значит, EB = BC = AB и треугольник EBA — равнобедренный. Тогда
и 
(так как 
), имеем 
Поскольку плоскости ABC и 
пересекаются по прямой AE, имеем
— середина 
Очевидно, 
Проведем 
Это прямая, содержащая среднюю линию треугольника 
так как 
и проходит через середину 
— K. Рассмотрим плоскость 
Отрезок BK лежит в ней и в плоскости 
поэтому надо узнать, как отрезок BK делит отрезок 
— диагональ прямоугольника 
со сторонами 
При этом 
Тогда
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
Следовательно, 
и 
При этом 
поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.
Теперь из треугольника SMO находим 
Тогда из треугольника BOS имеем:
и
По теореме Пифагора 
Напишем теорему косинусов для треугольника BMS: 
тупой и высота SO лежит вне треугольника.
(свойство диагоналей правильного шестиугольника) и 
(поскольку верхнее основание призмы перпеникулярно боковому ребру), то 
а тогда и 
(признак перпендикулярности плоскостей).
(точка K). Тогда 
откуда 
Кроме того 
поскольку 
Тогда
от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, — на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2. Тогда расстояние между хордами составляет либо 
либо 
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее.
и, значит, AB и AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
на плоскость ABCD — прямая 
то и 
Аналогично 
(надо рассмотреть плоскость 
). Значит, 
поэтому 
Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников 
и 
) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем 
откуда
а угол между плоскостями — 
поэтому точка B также лежит в данной плоскости. Поэтому с гранью ABS данная плоскость пересекается по прямой BM — медиане треугольника SAB. Она делит его медиану SQ (Q — середина AB) в отношении 2 : 1 считая от вершины.
Поскольку MN — средняя линия треугольника SAD, она делит отрезок SK пополам, то есть T — середина SK. Ясно, что T лежит в данной плоскости.
а боковое ребро AA1 = 5.
— середину 
Поскольку 
(потому что его проекция на основание 
— прямая AK — перпендикулярна 
и 
(потому что 
), то 
б) 
на плоскость 
— прямая 
то и 
Аналогично
(надо рассмотреть плоскость 
поэтому 
Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников 
и 
) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем 
Но 
по теореме о трех перпендикулярах — проекция AS на плоскость основания пирамиды — прямая 
Значит, и 
то есть 
Тогда 
Кроме того, 
откуда 
Тогда высота боковой грани пирамиды 
и площадь поверхности пирамиды 
Таким образом, треугольники MM'K и PBK равны, следовательно, 
Значит, SK : KB = 3 : 1.
Треугольники GRW и GFC — подобны с коэффициентом 
Значит
откуда 
откуда 
Тогда по теореме Пифагора находим 
Значит, 
и 
Рассматривая аналогично остальные стороны EFGH, получаем, что это параллелограмм и даже прямоугольник (так как 
). Значит, его площадь равна:
поскольку прямые BC и AQ параллельны. Углы 
и 
равны, поскольку оба равны половине дуги MP (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол), откуда и следует утверждение задачи.
откуда 
и 
Поскольку 
и 
получаем, что 
откуда 
Опуская высоту BK, получим 
откуда 
Решая это уравнение, получаем 
и 
их проекции на сторону AB — за 
— трапеция, в которой 
а 
Из подобия треугольников ATO и 
находим, что 
и 
на OT. Тогда 
получаем уравнение:
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
тогда 
в точке 
Тогда 
получаем 
Пусть тогда AB = 2x, BC = 3x. Поскольку AL : LC = AB : BC, находим 
Следовательно, 
откуда 
В равнобедренном треугольнике BLD имеем: 
По свойству внешнего угла треугольника 
поэтому треугольник DCL равнобедренный 
что и требовалось доказать.
Так как 
находим, что 
По свойству биссектрисы угла треугольника, 
поэтому 
Тогда 
Так как 
получаем, что 
тогда 
и пусть 
В треугольнике DCL: 
в подобном ему треугольнике ECA: 
Значит, 
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:
Поскольку HL — биссектриса ALM, тогда 
а значит, 
AL = BC = KC . AC = CD. 
что и требовалось доказать. 
Тогда уравнение примет вид 
что невозможно, поскольку 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — возрастающая функция 
необходимо и достаточно, чтобы 
Второе — 
что верно при всех неотрицательных 
что невозможно, поскольку 
Тогда уравнение примет вид 
Заметим, что левая часть — убывающая функция 
необходимо и достаточно, чтобы 
или 
в зависимости от того, какое из чисел 0 или 
меньше.
и эти числа равны, получаем функцию 
положительную на левой полуоси.
то можно рассматривать любые 
и поэтому нужно, чтобы
то есть 
Однако такие a уже рассматривались, и для них корень есть.
то можно рассматривать только 
и поэтому нужно, чтобы 
что очевидно невозможно при отрицательных a.
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно имеет более одного корня в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
положителен. То есть когда
но в этом случае равны все числа, а не ровно два из них. Наконец, ни одно из чисел не равно единице. Следовательно, среди чисел непременно есть 2 или 3. Будем считать, что 
Умножим обе части равенства на abc, получим: 
В силу симметрии а и b достаточно рассмотреть случай, когда 2 или 3 равно либо a, либо c. Рассмотрим эти варианты.
тогда 
то есть 
откуда 
Это дает варианты 
(не подходит, поскольку три числа равны 6), 
тогда 
то есть 
откуда 
Это дает варианты 
(не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел); 
тогда 
откуда 
что невозможно.
тогда 
а значит, 
откуда получаем, что 
Отсюда имеем: 
(не подходит, поскольку дает две пары одинаковых чисел).
и 
и нужно минимизировать 
Рассмотрим любую подходящую пару чисел 
и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему 
(к правой части прибавили 
а к левой — 
), 
(к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было 
стало 
). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 24.
Наименьшее такое c — это 35. Поэтому ответ 
Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a = 24. Далее, так же как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении 
а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 
и их 
штук.
Значит, 
Но тогда 
что невозможно.
Очевидно, следует взять 
и максимизировать 
то есть следует максимизировать x.
откуда 
Тогда требуемое выражение будет равно 
Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая 
и умножим сразу обе части на abc. Получим 
и равенство невозможно. Более того, если они все не меньше четырех, то равенство возможно лишь для 
C другой стороны, ни одно из чисел, очевидно, не равно единице. Итак, среди чисел есть либо 2 либо 3. Мы можем считать, что это число либо a, либо c. Теперь разберем варианты.
Получаем 
Получаем 
Получаем 
Получаем 
(и наоборот) и 
и 
и нужно минимизировать 
(к правой части прибавили 
(к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было 
Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 17.
Наименьшее такое c это 25. Поэтому ответ 
поэтому если взять по 11 раз числа 16 и 17, то получится подходящий пример:
откуда 
что невозможно — 363 не кратно 9.
поэтому a следует сделать как можно меньше. С другой стороны, 
(поскольку первая цифра числа меньше его последней цифры не более чем 
откуда 
что возможно, например, для трех чисел 19 и семнадцати чисел 18. Новая сумма тогда будет равна 
не меньше 1.
то 
Этот квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом принимает максимальное значение при 
Находим: 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
то 
Этот квадратный трехчлен принимает наибольшее значение в точке 
Находим: 
При таких значениях параметра для 
выполнено условие 
Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения 
Поскольку 
это уравнение равносильно совокупности
или если 
то есть при 
или 
имело решение. Запишем его в виде
сдвигом на 1 вверх вдоль оси ординат. График правой части неравенства получается сдвигом графика функции 
сдвигом на |a| единиц вдоль оси абсцисс вправо или влево в зависимости от знака a.
правая ветвь графика модуля касается параболы, а при 
— левая (см. рис.). Тогда при 
парабола целиком лежит выше графика модуля и неравенство не имеет решений. При прочих значениях параметра неравенство имеет решения, поэтому осталось установить значения, соответствующие касанию. 
в силу равенства 
получаем уравнение 
или 
Случаю касания соответствует единственное решение этого уравнения, поэтому его дискриминант должен быть равен нулю: 
откуда 
Аналогично для 
получаем уравнение 
откуда находим 
или 
Тем самым, 
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
отрицателен. То есть когда 
Она монотонно возрастает как сумма двух возрастающих функций. Поэтому уравнение 
равносильно уравнению 
Оно не имеет корней в тех случаях, когда дискриминант уравнения 
отрицателен. То есть когда 
тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение 
Кроме того, при 
неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,
имеем: 
При этом 
Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:
Число 0 является решением неравенства (*) при 
Причем при 
неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для 
имеем: 
Тогда неравенство (*) можно записать в виде:
Отсюда a = 4.
Поскольку 
то 
и каждому такому t соответствует единственное 
имеет корень, больший чем 
?
и 
разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения 
представляет собой часть параболы.
является парабола с вершиной в точке с координатами 
отрицательно, а выражение 
положительно и уравнение принимает вид 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
является парабола с вершиной в точке с координатами 
(красная линия).
и радиусом 1,5. Второму уравнению — окружность с центром в точке 
и радиусом 
(возможно, эта окружность вырождается в точку, если 
Тогда эта точка имеет координаты 
и на первой окружности не лежит). Система будет иметь единственное решение, если эти окружности касаются друг друга, то есть расстояние между их центрами будет равно сумме или разности радиусов. 
или 
эти уравнения превращаются соответственно в 
откуда 
Последнее уравнение не имеет положительных корней.
эти уравнения превращаются соответственно в 
откуда 
Последнее уравнение не имеет корней на данном промежутке.
эти уравнения превращаются соответственно в 
все они корней на данном промежутке не имеют.
получаем:
Наибольшая разность корней достигается в том случае, когда эта прямая содержит диаметр окружности, то есть при a = 2.
(здесь a — значение параметра). Квадратичная функция 
с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке 
Проверим, что при найденном значении параметра подкоренное выражение неотрицательно: 
Следовательно, наибольшее значение модуля разности достигается при a = 2.
имеем 
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.
При этом 
Получим уравнение 
При выполненной замене количество корней не изменяется (каждому значению переменной t соответствует ровно одно значение переменной x). Поэтому новое уравнение также должно иметь ровно 4 решения.
откуда 
).
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
откуда 
поскольку 
получаем: 
В пункте а) было доказано, что треугольник LCD равнобедренный, поэтому 
Применим теорему Менелая к треугольнику ABC: 
Тогда 
как внешний угол треугольника BLD. По теореме синусов для треугольника BHL имеем
а 
По теореме синусов для треугольника AHL имеем
значит, треугольник LCD равнобедренный.
по двум углам. Отсюда 
то 
Пусть BC = x, AB = 3x. По теореме о биссектрисе 
откуда находим 
Тогда 
откуда 
Тогда 
и 
откуда
откуда 
Опуская высоту BK, получим 
Решая это уравнение, получаем 
и 
а 
Из подобия треугольников ATO и 
и 
получаем уравнение:
(из вписанности), откуда 
и ABCD — ромб.
Опустим также перпендикуляры HE и HF на AO и BO. Тогда прямоугольник EHFO по площади ровно в 4 раза меньше, чем требуемый четырехугольник (он состоит из четырех таких прямоугольников). Тогда
от центра окружности основания, а хорда длиной 10, аналогично, — на расстоянии 12. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 5+12=17, либо 12-5=7. Тогда расстояние между хордами составляет либо 
либо 
По условию реализовался первый случай, в нем проекции хорд лежат по разные стороны от оси цилиндра. Значит, ось пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть центры оснований лежат по разные стороны от нее.
и 
Проведем из центра основания с хордой длины 24 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 5, как уже отмечалось) и из центра другого основания — к другой хорде. Они лежат в одной плоскости 
перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание — 
и, значит, AB, AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
а боковое ребро AA1 = 8.
за 
а середину BC за M. Тогда 
поскольку 
Кроме того, 
поэтому 
Тогда и 
Заметим что 
как медиана равнобедренного треугольника 
и 
то 
как диагонали квадрата, по теореме о трех перпендикулярах 
поэтому 
Введем координаты, направив оси из точки O параллельно сторонам квадрата и через вершину S. Обозначая высоту пирамиды за 2h, находим координаты точек B (2, 2, 0), C (-2, 2, 0), A (2, -2, 0), S (0, 0, 2h), L (-1, 1, h). Тогда 
и высота пирамиды 
Тогда апофема 
и площадь поверхности 