ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 513264 Добавить в вариант

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  Докажите, что прямая BD₁ перпендикулярна плоскости ACB₁.

б)  Найдите угол между плоскостями AD₁C₁ и A₁D₁C.

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку проекция прямой $BD_1$ на плоскость ABCD  — прямая $BD\perp AC,$ то и $BD_1\perp AC.$ Аналогично $BD_1\perp AB_1$ (надо рассмотреть плоскость $ABB_1A_1$ ). Значит, $BD_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости $AB_1C,$ поэтому $BD_1\perp AB_1C.$

б)  Будем считать, что ребро куба имеет длину 1. Очевидно, в обеих плоскостях лежит точка B, поэтому прямая пересечения у этих плоскостей $BD_1.$ Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников $ABD_1$ и $CBD_1$ ) Пусть их основание  — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем $AC= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$

$AH= дробь: числитель: 2S_ABD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: AB умножить на AD_1, знаменатель: BD_1 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби .$

Напишем теперь теорему косинусов для треугольника ACH.

$2= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби косинус \angle AHC,$ откуда $\angle AHC=120 в степени o ,$ а угол между плоскостями  —  $60 в степени o .$

Ответ: $60 в степени o .$

Примечание.

Решение задачи методом координат приведено в комментариях.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 513264: 513273 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Методы геометрии: Метод площадей, Теорема косинусов

Классификатор стереометрии: Куб, Угол между плоскостями, Угол между прямой и плоскостью

Спрятать решение · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Иван Иванов 29.03.2024 16:09

Здравствуйте!

Привожу другой способ решения данной задачи.

а) Пусть сторона куба равна a. Введём прямоугольную систему координат: начало координат поместим в точку А(0:0:0), ось OX - направим вправо вдоль AB, ось OY - вдоль AD, ось OZ - вверх вдоль AA1.

Найдём координаты точек B, B1, C, A1, C1, D1:

B(a; 0; 0), B1(a; 0; a), C(a; a; 0), A1(0; 0; a), C1(a; a; a), D1(0; a; a).

Найдём координаты векторов вект(BD1), вект(AC), вект(AB1):

вект(BD1)=(-a; a; a), вект(AC)=(a; a; 0), вект(AB1)=(a; 0; a).

Тогда скалярные произведения равны:

вект(BD1)*вект(AC)=-a*a+a*a+a*0=0 , вект(BD1)*вект(AB1)=-a*a+a*0+a*a=0.

Значит, прямая BD1 перпендикулярна к двум пересекающимся прямым - AC и AB1, лежащим в плоскости ACB1. Следовательно, прямая BD1 перпендикулярна плоскости ACB1.

б) Найдём координаты векторов вект(AD1), вект(AC1), вект(A1D1), вект(A1C):

вект(AD1)=(0; a; a ) , вект(AC1)=(a; a; a), вект(A1D1)=(0; a; 0) , вект(A1C)=(a; a; -a).

Пусть вектор n(x1; y1; z1) перпендикулярен плоскости AD1C1. Тогда вект(n)*вект(AD1)=0 и вект(n)*вект(AC1)=0. Получаем два уравнения: y1*a+z1*a=0 и x1*a+y1*a+z1*a=0. Находим: x1=0, z1=-y1.

Значит, вект(n)=(0; y1; -y1) = y1*(0; 1; -1). Вектор n коллинеарен вектору n1 = (0; 1; -1), который также перпендикулярен плоскости AD1C1.

Пусть вектор m(x2; y2; z2) перпендикулярен плоскости A1D1C. Тогда вект(m)*вект(A1D1)=0 и вект(m)*вект(A1C)=0. Получаем два уравнения: y2*a=0 и x2*a+y2*a-z2*a=0. Находим: y2=0, z2=x2

Значит, вект(m)=(x2; 0; x2) = x2*(1; 0; 1). Вектор m коллинеарен вектору m1 = (1; 0; 1), который также перпендикулярен плоскости A1D1C.

Косинус угла между векторами n1 и m1 равен: вект(n1)*вект(m1)/ (mod.вект(n1)*mod.вект(m1)) = (0*1+1*0 - 1*1)(sqrt(2)*sqrt(2)) = -1/2. Откуда находим, что угол между векторами n1 и m1 равен 120 град.

Угол между двумя плоскостями равен: либо углу между перпендикулярами к этим плоскостям, либо углу, смежному с углом между перпендикулярами к этим плоскостям (меньшему из них, если они не равны 90град. или 90град. - если угол и смежный с ним равны 90град.). Поэтому, искомый угол равен: 180град. - 120град. = 60 град.

Иван Иванов, Владивосток.