Дана правильная призма ABCA1B1C1, у которой сторона основания AB = 4, а боковое ребро AA1 = 9. Точка M — середина ребра AC, а на ребре AA1 взята точка T так, что AT = 5.
а) Докажите, что плоскость BB1M делит отрезок C1T пополам.
б) Плоскость BTC1 делит отрезок MB1 на две части. Найдите длину меньшей из них.
а) Пусть точка 
— середина 
Очевидно, 
Проведем 
Это прямая, содержащая среднюю линию треугольника 
так как 
и проходит через середину Значит, она проходит и через середину 
б) Обозначим середину 
— K. Рассмотрим плоскость 
Отрезок BK лежит в ней и в плоскости 
поэтому надо узнать, как отрезок BK делит отрезок 
— диагональ прямоугольника 
со сторонами 
При этом 
Пусть O точка пересечения BK и 
Тогда
Поэтому 
Ответ: б) 
Наверное, лучше по теореме Фалеса: Проведём через точку
прямую параллельно 
она пересечёт 
в некой точке 
По теореме Фалеса 
то есть 
Да, так тоже неплохо, но следует также пояснить, что эта прямая отсекает на
отрезок равный 
то есть 2.