ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 19 № 514711 Добавить в вариант

Четыре натуральных числа таковы, что

$дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d конец дроби =1.$

а)  Могут ли все эти числа быть попарно различны?

б)  Может ли одно из этих чисел равняться 7?

в)  Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да, например, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби =1.$

б)  Да, например, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 42 конец дроби =1.$

в)  Будем считать, что $c=d$ и умножим сразу обе части на abc. Получим $abc=ac плюс bc плюс 2ab.$ Сразу заметим, что если все числа a, b, c больше четырех, то $ac,ab,bc меньше дробь: числитель: abc, знаменатель: 4 конец дроби ,$ и равенство невозможно. Более того, если они все не меньше четырех, то равенство возможно лишь для $a=b=c=4.$ C другой стороны, ни одно из чисел, очевидно, не равно единице. Итак, среди чисел есть либо 2 либо 3. Мы можем считать, что это число либо a, либо c. Теперь разберем варианты.

1)   $a=2.$ Получаем $2bc=2c плюс bc плюс 4b,$ $bc минус 2c минус 4b=0,$ $левая круглая скобка b минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка c минус 4 правая круглая скобка =8.$ Это дает варианты $b=10,$ $c=5,$ $b=c=6,$ $b=4,$ $c=8,$ $b=3,$ $c=12.$

2)   $a=3.$ Получаем $3bc=3c плюс bc плюс 6b,$ $2bc минус 3c минус 6b=0,$ $левая круглая скобка 2b минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2c минус 6 правая круглая скобка =18.$ Это дает варианты $b=2,$ $c=12,$ $b=3,$ $c=6,$ $b=6,$ $c=4.$

3)   $c=2.$ Получаем $2ab=2a плюс 2b плюс 2ab,$ что невозможно.

4)   $c=3.$ Получаем $3ab=3a плюс 3b плюс 2ab,$ $ab минус 3a минус 3b=0,$ $левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 3 правая круглая скобка =9.$ Это дает варианты $a=4,$ $b=12$ (и наоборот) и $a=b=6.$

Выписывая ответ, заметим, что некоторые ответы получились дважды (с перестановкой цифр). Их выпишем только один раз.

Ответ: $левая фигурная скобка 4;4;4;4 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;10;5;5 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;6;6;6 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;4;8;8 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 2;3;12;12 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 3;3;6;6 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 3;6;4;4 правая фигурная скобка , левая фигурная скобка 4;3;3;12 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 512994: 514711 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь