Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.
а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.
б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD.
а) Заметим, что
поскольку прямые BC и AQ параллельны. Углы 
и 
равны, поскольку оба равны половине дуги MP (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол), откуда и следует утверждение задачи.
б) Обозначим центр окружности за O, а основание перпендикуляра из точки O на прямую AD за K, на прямую BC — за L. Тогда CMOL — квадрат, и, значит, радиус окружности равен 17. Тогда в треугольнике OPK имеем 
Значит, PQ = 2PK = 16, DK = CL = 17. Тогда
Тогда DQ = 25 и 
откуда
Ответ: 
Приведем замечание Надежды Добровольской.
При решении пункта б) можно воспользоваться тем, что треугольники BCM и MDP подобны по двум углам по доказанному в пункте а). Тогда
