Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 513261

Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 32. Найдите сторону AD.

Решение.

а) Заметим, что \angle CBM=\angle MQD, поскольку прямые BC и AQ параллельны. Углы \angle DMP и \angle MQD равны, поскольку оба равны половине дуги MP (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол), откуда и следует утверждение задачи.

б) Обозначим центр окружности за O, а основание перпендикуляра из точки O на прямую AD за K, на прямую BC — за L. Тогда CMOL — квадрат и, значит, радиус окружности равен 17. Тогда в треугольнике OPK имеем PK= корень из { OP в степени 2 минус OK в степени 2 }= корень из { OP в степени 2 минус MD в степени 2 }=8.

Значит, PQ = 2PK = 16, DK = CL = 17. Тогда PD = DK – PK = 9.

Тогда DQ = 25 и  тангенс \angle DQM= дробь, числитель — MD, знаменатель — DQ = дробь, числитель — 3, знаменатель — 5 , откуда

AD=BC=CM умножить на \ctg \angle CBM=17 умножить на \ctg \angle MQD=17 умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 85, знаменатель — 3 .

 

Ответ:  дробь, числитель — 85, знаменатель — 3 .

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники