Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 513273
i

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая B1D пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти A1BC1.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AB1C1 и A1B1C.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку про­ек­ция пря­мой B_1D на плос­кость A_1B_1C_1D_1  — пря­мая B_1D_1\perp A_1C_1, то и B_1D\perp A_1C_1. Ана­ло­гич­но B_1D\perp A_1B (надо рас­смот­реть плос­кость ABB_1A_1). Зна­чит, B_1D пер­пен­ди­ку­ляр­но двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым в плос­ко­сти A_1BC_1, по­это­му B_1D\perp A_1BC_1.

 

б)  Будем счи­тать, что ребро куба имеет длину 1. Оче­вид­но, в обеих плос­ко­стях лежит точка D, по­это­му пря­мая пе­ре­се­че­ния у этих плос­ко­стей B_1D. Опу­стим на нее пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек A и C (они упа­дут в одну точку из-за ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков AB_1D и CB_1D) Пусть их ос­но­ва­ние  — точка H. Рас­смот­рим тре­уголь­ник ACH. В нем AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

AH= дробь: чис­ли­тель: 2S_AB_1D, зна­ме­на­тель: B_1D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB_1 умно­жить на AD, зна­ме­на­тель: B_1D конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

.

На­пи­шем те­перь тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ACH.

2= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус \angle AHC, от­ку­да \angle AHC=120 в сте­пе­ни o , а угол межу плос­ко­стя­ми - 60 в сте­пе­ни o .

 

Ответ: 60 в сте­пе­ни o .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 513264: 513273 Все

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке, под ре­дак­ци­ей И. В. Ящен­ко 2016
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Куб, Угол между плос­ко­стя­ми, Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025