Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?
Как известно, треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.
а) Да, например, в треугольнике со сторонами 15, 10, 11 выполнено 
и 
б) Нет. Пусть большая сторона равна 5x, а меньшая 4x. Тогда средняя не меньше 4x, но 
в) Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда 
и нужно минимизировать 
Рассмотрим любую подходящую пару чисел 
и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему 
(к правой части прибавили 
а к левой 
), 
(к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было 
стало 
Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 17.
Теперь будем просто уменьшать c, пока это возможно, то есть пока 
Наименьшее такое c это 25. Поэтому ответ 
Ответ: а) a = 15, b = 10, c = 11; б) нет; в)