Найдите все значения a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения
принимает наибольшее значение.
Поскольку 
получаем:
Полученное выражение, а вместе с ним и исходное, достигает наибольшего значения при 
Ответ:
Приведем другое решение.
Преобразуем уравнение:
На координатной плоскости Oxa это уравнение задает окружность с центром в точке (3; 2) и радиусом 1. Корнями уравнения являются точки пересечения этой окружности с горизонтальной прямой 
Наибольшая разность корней достигается в том случае, когда эта прямая содержит диаметр окружности, то есть при a = 2.
Приведем решение Тофига Алиева.
Заметим, что для квадратного уравнения 
поскольку a = 1.
Чтобы модуль разности корней уравнения был наибольшим, необходимо и достаточно, чтобы наибольшим было значение выражения 
(здесь a — значение параметра). Квадратичная функция 
с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке 
Проверим, что при найденном значении параметра подкоренное выражение неотрицательно: 
Следовательно, наибольшее значение модуля разности достигается при a = 2.
Здравствуйте, хочу предложить свой способ решения.
Заметим, что уравнение y=x^2-6x+12+a^2-4a представляет собой параболу, ветви которой направленны вверх, а исходное уравнение определяет точки, в которых эта парабола пересекает ось x. Также заметим, что параметр a содержится только в коэффициенте "c" уравнения этой параболы, следовательно, влияет лишь на вертикальное положение её вершины.
Модуль разности корней - это расстояние между ними на оси x. Следовательно, чтобы расстояние между точками пересечения параболы и оси x было максимальным, вершина параболы должна быть максимально низко, т.е. коэффициент "c" должен быть минимальным. Найдем производную выражения 12+a^2-4a, 2a-4=0 при a=2.При a=2 коэффициент "c" был минимальным, а значит, модуль разности корней приобретал наибольшее значение