Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства
состоит из одной точки, найдите это решение.
Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и 
тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение 
Кроме того, при 
неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,
Нуль не является положительным числом, значит, 
не соответствует условию.
При 
имеем:
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него:
Итак, подходит.
Ответ:
При этом
Приведём другое решение (Дмитрий Irmos).
Пусть 
Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:
Рассмотрим случай 
Число 0 является решением неравенства (*) при 
Причем при 
неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для 
имеем:
Пусть теперь 
Тогда неравенство (*) можно записать в виде:
Подкоренное выражение больше 17, корень больше 4, а значит, выражение в скобках положительно. Следовательно, левая часть неравенства (**) является суммой неотрицательного и положительного выражений. Поэтому оно не имеет решений.
Таким образом, число 0 является единственным решением неравенства для тех и только тех положительных значений параметра a, которые являются корнями уравнения 
Отсюда a = 4.
1)Какими рассуждениями пришли к выводу, что при близких к нулю иксах неравенство прододжит выполняться?
2)С какой целью решали неравенство при а=4?
1. Рассуждениями о непрерывности функции.
2. Узнать сколько и какие будут решения при а=4. До этого момента знали, что х=0 является решением, но не знали есть ли другие решения при этом значении а.
По непрерывности y=1?
по непрерывности обеих частей неравенства
Предлагаю более простой способ решения.
Обозначим логарифмическое выражение за z. Знаменатель дроби положителен, поэтому можно на него домножить обе части.
Имеем квадратное неравенство (z-1)^2+f(x)<=0. (1)
При этом z зависит только от а, f зависит только от x.
f(x)=30sqrt(17x^4+5x^2)-x^2=x^2*(30sqrt(17+5/x^2)-1)>=0.
Получаем в неравенстве (1) два неотрицательных слагаемых. Оно имеет решение, когда оба слагаемых обращаются в 0. f(x)=0 только при x=0 -как раз по условию решение состоит из 1 точки. Остаётся найти, когда z=1. Получаем a=0 или a=4. a=0 не подходит по условию, значит, a=4.
Откорректировали. Опубликовали.