На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
а) Обозначим 
тогда
и треугольник LCD — равнобедренный.
б) Пусть DL пересекает 
в точке 
Тогда
поэтому треугольники HLB и LCB подобны по двум углам. Отсюда 
Поскольку 
получаем 
Пусть тогда AB = 2x, BC = 3x. Поскольку AL : LC = AB : BC, находим 
Следовательно, 
Значит, 
откуда 
Ответ: 21 : 4 (или 4 : 21).
Приведём решение Александра Шевкина (Москва).
а) Пусть в треугольнике ABC половина угла B равна α (см. рис.). Тогда 
В равнобедренном треугольнике BLD имеем: 
По свойству внешнего угла треугольника 
поэтому треугольник DCL равнобедренный 
что и требовалось доказать.
б) Пусть 
Так как 
находим, что 
По свойству биссектрисы угла треугольника, 
поэтому 
Тогда 
В треугольнике ABC по теореме Менелая 
Так как 
получаем, что 
тогда 
Примечание.
Можно привести ещё одно решение пункта б). Воспользуемся результатами, полученными выше:
Проведём 
и пусть 
В треугольнике DCL: 
в подобном ему треугольнике ECA: 
Значит, 
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:
Приведём решение пункта б) Сергея Фефелова (Москва).
Пусть СМ биссектриса ABC, тогда по свойству биссектрисы 
Поскольку HL — биссектриса ALM, тогда 
а значит, 