ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 513282 Добавить в вариант

Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых множество решений неравенства

$1 меньше или равно дробь: числитель: 2a плюс x в квадрате минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате конец аргумента плюс 2a плюс 4 плюс \log в квадрате _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка конец дроби$

состоит из одной точки, и найдите это решение.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, если x подходит в это неравенство, то и $минус x$ тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение $x=0.$ Кроме того, при $x=0$ неравенство должно обратиться в равенство, иначе при достаточно близких к нулю x неравенство продолжит выполняться (по непрерывности правой части на всей области определения). Итак,

$1= дробь: числитель: 2a минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка , знаменатель: 2a плюс 4 плюс \log в квадрате _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка конец дроби ,$

$4 плюс \log в квадрате _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка = минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка ,$

$левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка в квадрате =0,$

$логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4a в квадрате минус 4a плюс 9 правая круглая скобка = минус 2,$

$4a в квадрате минус 4a плюс 9=9,$

$a=0илиa=1.$

Рассмотрим эти случаи. При $a=1$ имеем $1 меньше или равно дробь: числитель: x в квадрате плюс 10, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате конец аргумента плюс 10 конец дроби .$ Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

$5 корень из: начало аргумента: 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате конец аргумента плюс 10 меньше или равно x в квадрате плюс 10,$

$25 левая круглая скобка 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно x в степени 4 ,$

$449x в степени 4 плюс 175x в квадрате меньше или равно 0.$

$x=0.$ Итак, $a=1$ подходит.

При $a=0$ имеем $1 меньше или равно дробь: числитель: x в квадрате плюс 8, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате конец аргумента плюс 8 конец дроби .$ Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.

$5 корень из: начало аргумента: 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате конец аргумента плюс 8 меньше или равно x в квадрате плюс 8,$

$25 левая круглая скобка 18x в степени 4 плюс 7x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно x в степени 4 ,$

$449x в степени 4 плюс 175x в квадрате меньше или равно 0.$

$x=0.$ Итак, $a=0$ тоже подходит.

Ответ: $a=0,$ $a=1.$ При этом $x=0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получены оба верных значения параметра, но –  или в ответ включены также и одно-два неверных значения; –  или решение недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра	2
Задача сведена к исследованию: –  или взаимного расположения трёх окружностей; –  или двух квадратных уравнений с параметром	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 513268: 513282 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Введение замены

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь