Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514718

Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в точках P и Q, причём точка P лежит между точками D и Q. Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM.

а) Докажите, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Известно, что CM = 17 и CD = 25. Найдите сторону AD.

Решение.

а) Заметим, что \angle CBM=\angle MQD, поскольку прямые BC и AQ параллельны. Углы \angle DMP и \angle MQD равны, поскольку оба равны половине дуги MP (первый — угол между касательной и хордой, второй — вписанный угол), откуда и следует утверждение задачи.

б) Обозначим центр окружности за O, а основание перпендикуляра из точки O на прямую AD за K, на прямую BC — за L. Тогда CMOL — квадрат и, значит, радиус окружности равен 17. Тогда в треугольнике OPK имеем

PK= корень из { OP в степени 2 минус OK в степени 2 }= корень из { OP в степени 2 минус MD в степени 2 }=15.

Значит, PQ=2PK=30. Тогда DK=17, PD=DK минус PK=2.

Тогда DQ=32 и  тангенс \angle DQM= дробь, числитель — MD, знаменатель — DQ = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 , откуда

AD=BC=CM умножить на \ctg \angle CBM=17 умножить на \ctg \angle MQD=17 умножить на 4=68.

 

Ответ: 68.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники