СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 514718

Сто­ро­на CD пря­мо­уголь­ни­ка ABCD ка­са­ет­ся не­ко­то­рой окруж­но­сти в точке M. Про­дол­же­ние сто­ро­ны AD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках P и Q, причём точка P лежит между точ­ка­ми D и Q. Пря­мая BC ка­са­ет­ся окруж­но­сти, а точка Q лежит на пря­мой BM.

а) До­ка­жи­те, что ∠DMP = ∠CBM.

б) Из­вест­но, что CM = 17 и CD = 25. Най­ди­те сто­ро­ну AD.

Ре­ше­ние.

а) За­ме­тим, что по­сколь­ку пря­мые BC и AQ па­рал­лель­ны. Углы и равны, по­сколь­ку оба равны по­ло­ви­не дуги MP (пер­вый — угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, вто­рой — впи­сан­ный угол), от­ку­да и сле­ду­ет утвер­жде­ние за­да­чи.

б) Обо­зна­чим центр окруж­но­сти за O, а ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из точки O на пря­мую AD за K, на пря­мую BC — за L. Тогда CMOL — квад­рат и, зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 17. Тогда в тре­уголь­ни­ке OPK имеем

Зна­чит, Тогда

Тогда и от­ку­да

 

Ответ: 68.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники