Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 513259
i

Диа­метр окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен 20, об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра равна 28. Плос­кость пе­ре­се­ка­ет его ос­но­ва­ния по хор­дам длины 12 и 16. Рас­сто­я­ние между этими хор­да­ми равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 197 конец ар­гу­мен­та .

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры ос­но­ва­ний ци­лин­дра лежат по одну сто­ро­ну от этой плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те угол между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ци­лин­дра.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что хорда дли­ной 12 на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 в квад­ра­те минус 6 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 8 от цен­тра окруж­но­сти ос­но­ва­ния, а хорда дли­ной 16, ана­ло­гич­но,  — на рас­сто­я­нии 6. По­это­му рас­сто­я­ние между их про­ек­ци­я­ми на плос­кость, па­рал­лель­ную ос­но­ва­ни­ям ци­лин­дров, со­став­ля­ет либо 8 + 6  =  14, либо 8 − 6  =  2. Тогда рас­сто­я­ние между хор­да­ми со­став­ля­ет либо ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 в квад­ра­те плюс 14 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , либо ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 28 в квад­ра­те плюс 2 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та . По усло­вию ре­а­ли­зо­вал­ся вто­рой слу­чай, в нем про­ек­ции хорд лежат по одну сто­ро­ну от оси ци­лин­дра. Зна­чит, ось не пе­ре­се­ка­ет дан­ную плос­кость в пре­де­лах ци­лин­дра, то есть ос­но­ва­ния лежат по одну сто­ро­ну от нее.

б)  Обо­зна­чим цен­тры ос­но­ва­ний за O1 и O2. Про­ве­дем из цен­тра ос­но­ва­ния с хор­дой длины 12 се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже от­ме­ча­лось) и из цен­тра дру­го­го ос­но­ва­ния  — к дру­гой хорде. Они лежат в одной плос­ко­сти β пер­пен­ди­ку­ляр­ной этим хор­дам. На­зо­вем се­ре­ди­ну мень­шей хорды B, боль­шей A и про­ек­цию A на вто­рое ос­но­ва­ние  — H левая круг­лая скоб­ка H при­над­ле­жит бета пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда AB, AH при­над­ле­жит бета и, зна­чит, AB и AH пер­пен­ди­ку­ляр­ны хорде, то есть пря­мой пе­ре­се­че­ния ос­но­ва­ния с дан­ной плос­ко­стью.

Зна­чит, ис­ко­мый угол равен

\angle ABH= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: AH, зна­ме­на­тель: BH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 28, зна­ме­на­тель: 8 минус 6 конец дроби = арк­тан­генс 14.

Ответ: арк­тан­генс 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 513259: 514721 Все

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке, под ре­дак­ци­ей И. В. Ящен­ко 2016
Методы геометрии: Свой­ства хорд, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Угол между плос­ко­стя­ми, Ци­линдр
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025