Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8. Точка L  — се­ре­ди­на ребра  SC. Тан­генс угла между пря­мы­ми BL и SA равен 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. До­ка­жи­те, что пря­мые BO и LO пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку OL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SAC, LO\parallel AS. Но AS\perp BD по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах  — про­ек­ция AS на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды  — пря­мая AO\perp BD. Зна­чит, и LO\perp BD, то есть LO\perp BO.

б)  Пусть AS=a. Тогда BO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BD=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , OL= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Кроме того, тан­генс \angle BLO= дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: OL конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , от­ку­да a=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та . Тогда вы­со­та бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды h= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 80 минус 16 конец ар­гу­мен­та =8 и пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды

S=4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс AB в квад­ра­те =4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 умно­жить на 8, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 8 в квад­ра­те =192.

Ответ: 192.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 513276: 514723 Все

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке, под ре­дак­ци­ей И. В. Ящен­ко 2016
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых, Пло­щадь по­верх­но­сти, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025