В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 
Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.
а) Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.
а) Поскольку SA = SC, точка S лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AC и проходящей через его середину M. Следовательно, O лежит на прямой BM. Обозначим высоту пирамиды за x, тогда 
Следовательно, 
и 
При этом 
поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.
б) Из треугольника SMA найдем 
Теперь из треугольника SMO находим 
Тогда из треугольника BOS имеем:
Тогда 
и
Приведем вариант решения п. а), предложенный Елизаветой Римшей.
В треугольнике ABC высота 
По теореме Пифагора 
Напишем теорему косинусов для треугольника BMS:
Следовательно, 
тупой и высота SO лежит вне треугольника.
Ответ: 