Квадратное уравнение 
с натуральными коэффициентами p и q имеет два натуральных корня.
а) Найдите все возможные значения p, если q = 11.
б) Могут ли одновременно выполняться неравенства 
и 
в) Найдите наибольшее значение (p + q) при 
и 
а) Пусть a и b — натуральные корни уравнения 
причём 
Тогда 
и 
Поскольку 
− простое
и 
тогда 
б) Если и 
то 
и 
откуда получаем:
Это невозможно, поскольку a и b натуральные, а следовательно,
в) Если и то 
и 
Следовательно, 
Заметим, что равенство 
может достигаться только при 
но в таком случае уравнение 
не имеет целых корней. Уравнение 
имеет корни 1 и 18, и для него 
Значит, наибольшее значение 
равно 37.
Ответ: а) 12; б) нет; в) 37.