Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.
а) Можно ли получить из числа 128 число 29?
б) Можно ли получить из числа 128 число 31?
в) Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?
а) Три раза выполним операцию вычитания утроенной суммы цифр:
128 − 3 · 11 = 95;
95 − 3 · 14 = 53;
53 − 3 · 8 = 29.
б) Утроенная сумма цифр числа делится на 3, поэтому указанные операции не изменяют остаток числа при делении на 3. Число 128 при делении на 3 дает остаток 2, а число 31 — остаток 1. Поэтому такими операциями из 128 получить 31 невозможно.
в) Из пункта б) следует, что число 1 получить нельзя. Начнем с числа 29, полученного в пункте а), и покажем, как получить число 2:
29 + 3 · 11 = 62;
62 − 3 · 8 = 38;
38 − 3 · 11 = 5;
5 + 3 · 5 = 20;
20 + 3 · 2 = 26;
26 − 3 · 8 = 2.
Ответ: а) да, можно; б) нет, нельзя; в) 2.