На столе лежит три карточки, на каждой из которых написана одна цифра. Ваня составил из написанных цифр трехзначное число А. Петя выбрал две из этих карточек, составил из написанных на них цифр двузначное число В и вернул карточки на место. Коля тоже выбрал две из этих трех карточек и составил из написанных на них цифр двузначное число С (возможно то же самое, что и Петя).
а) Может ли быть верным равенство A = B + C, если A > 150?
б) Может ли быть верным равенство A = B + C, если числа B и C делятся на 9?
в) Найдите наименьшее число A, для которого может быть верным равенство A = B + C.
а) Да, например 
б) Сразу заметим, что
поэтому A начинается с цифры 1. Далее, если B и C кратны 9, то и их сумма A кратна 9. Делимость на 9 определяется суммой цифр числа (она должна быть кратна 9), поэтому убирать из A единицу нельзя (от этого остаток от деления на 9 изменится). Значит, и B и C содержат в записи единицу. Тогда вторая их цифра должна быть 8. Если в числе A были бы две такие цифры, то их сумма с единицей давала бы остаток 8 от деления на 9. Значит, там одна такая цифра, а B и C состоят из цифр 1 и 8. Осталось разобрать варианты:
— не трехзначные: 
— не содержат нужных цифр: 
в) Заметим, что 
Докажем, что это наилучший пример. Предположим, что есть число 
Тогда число A начинается с цифры 1, далее идёт цифра 0, а потом цифра 
Чтобы последняя цифра числа А равнялась d, одно из двузначных чисел (B или C) должно заканчиваться на 0, а второе на d. Тогда число 
— противоречие. Значит, число A не может быть меньше 109.
Ответ: а) да; б) нет; в) 109.