В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной  6. Вы­со­та приз­мы равна  4. Точка  N  — се­ре­ди­на ребра  A₁C₁.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр этого се­че­ния.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой че­ты­рех­уголь­ной приз­мы ABCDA'B'C'D' яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD со сто­ро­ной вы­со­та приз­мы равна Точка K  — се­ре­ди­на ребра BB'. Через точки K и С' про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD'.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 11, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  7. Точка K при­над­ле­жит ребру B₁C₁ и делит его в от­но­ше­нии 8 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B₁.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки B, D и K.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и K.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 20, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  7. Точка M при­над­ле­жит ребру A₁D₁ и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, у ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  9. Точка  M  — се­ре­ди­на ребра AC, а на ребре AA₁ взята точка T так, что AT  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BB₁M делит от­ре­зок C₁T по­по­лам.

б)  Плос­кость BTC₁ делит от­ре­зок MB₁ на две части. Най­ди­те длину мень­шей из них.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, бо­ко­вые рёбра равны 4.

а)  Изоб­ра­зи­те се­че­ние, про­хо­дя­щее через вер­ши­ны A, B и се­ре­ди­ну ребра A₁C₁, и до­ка­жи­те, что это рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 20, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  7. Точка M при­над­ле­жит ребру A₁D₁ и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и M, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь этой тра­пе­ции.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 11, а бо­ко­вое ребро AA₁  =  7. Точка K при­над­ле­жит ребру B₁C₁ и делит его в от­но­ше­нии 8 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и K, есть рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 3, а бо­ко­вое ребро На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  A₁N  =  C₁K  =  1.

а)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. До­ка­жи­те, что MNKL  — квад­рат.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ точка K делит бо­ко­вое ребро AA₁ в от­но­ше­нии AK : KA₁  =  1 : 2. Через точки B и K про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии DM : MD₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если из­вест­но, что AB  =  4, AA₁  =  6.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 5, а бо­ко­вые рёбра равны 11.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые CA₁ и C₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны C, A₁ и F₁.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка K так, что AK : KA₁  =  1 : 2. Плос­кость α про­хо­дит через точки B и K па­рал­лель­но пря­мой AC. Эта плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро DD₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что MD : MD₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AB  =  4, AA₁  =  6.

Дана пря­мая тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Из­вест­но, что AB  =  BC. Точка K  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, а точка M лежит на ребре AC и делит его в от­но­ше­нии AM : MC  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая KM пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC .

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KM и A₁C₁, если AB  =  10, AC  =  8 и AA₁  =  3.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁, в ко­то­рой сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  8, бо­ко­вое ребро Точка Q  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани ABB₁А₁, точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ВС, СC₁ и А₁C₁ cот­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки Q, M, N и K лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния QMN.

В пра­виль­ной вось­ми­уголь­ной приз­ме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна а бо­ко­вое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ от­ме­че­на точка M так, что Плос­кость па­рал­лель­на пря­мой H₁E₁ и про­хо­дит через точки M и A.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью α   — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка F₁, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью α.

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. На ребре BB₁ от­ме­че­на точка Q такая, что BQ : QB₁  =  2 : 7. Плос­кость α про­хо­дит через точки A и Q па­рал­лель­но пря­мой BD. Эта плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что C₁M : CC₁  =  5 : 9.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AA₁  =  18.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме MNPQM₁N₁P₁Q₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 11, а бо­ко­вое ребро  — 15. На реб­рах M₁Q₁, M₁N₁ и PQ взяты точки X, Y, Z со­от­вет­ствен­но так, что

а)  Пусть C  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти XYZ c реб­ром PN. До­ка­жи­те, что XYCZ  — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью XYZ.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На ребре DD₁ от­ме­че­на точка M так, что Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой A₁F₁ и про­хо­дит через точки M и E.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка F, а ос­но­ва­ни­ем се­че­ние приз­мы ABCDEFAB₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ c реб­ра­ми и AA₁  =  12, точки M и K  — се­ре­ди­ны AB и ВС со­от­вет­ствен­но. Точка  N лежит на ребре  BB₁, при­чем BN  =  6. Через точку  D про­ве­ли плос­кость α па­рал­лель­но плос­ко­сти  KMN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точки  A₁ и  C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ длина ребра ос­но­ва­ния равна 4, а длина бо­ко­во­го ребра равна 2.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра AB пер­пен­ди­ку­ляр­но от­рез­ку, со­еди­ня­ю­ще­му се­ре­ди­ны рёбер BC и A₁B₁, делит ребро AC в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α.

Дана пря­мая приз­ма ABCA₁B₁C₁. ABC  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем AB. На AB от­ме­че­на точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит по­по­лам ребро B₁C₁. Точка M делит по­по­лам ребро BC. Через точку M про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная PQ.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α делит от­ре­зок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB. Точка P делит ребро AB в от­но­ше­нии а точка Q  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Через се­ре­ди­ну M ребра BC про­ве­ли плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ную от­рез­ку PQ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AC по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α де­лить от­ре­зок A₁C₁, счи­тая от точки A₁, если из­вест­но, что и

Дана пря­мая приз­ма, в ос­но­ва­нии ко­то­рой рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  5 и BC  =  4. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии точка K  — се­ре­ди­на DD₁.

a)  До­ка­жи­те, что плос­кость MCK делит от­ре­зок BB₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MKC, если a

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M, K и N со­от­вет­ствен­но, при­чем а AMKN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 3.

a)  До­ка­жи­те, что N  — се­ре­ди­на BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMKN, если объем приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 12, а ее вы­со­та равна 2.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BB₁, а точка N  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мым AM и B₁N, про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка B₁M.

a)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка B₁C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁плос­ко­стью α, если все ребра этой приз­мы равны 4.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны  5. На его ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что A₁M  =  3. Через точки M и B₁ про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная AC₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DD₁ в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

б)  Най­ди­те объем боль­шей из двух ча­стей куба, на ко­то­рые он де­лит­ся плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 9, бо­ко­вое ребро равно 14. Точка K при­над­ле­жит ребру A₁B₁ и делит его в от­но­ше­нии 2 : 7, счи­тая от вер­ши­ны A₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки А, С и K, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B₁ и D, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AA₁ и CC₁ в точ­ках M и K со­от­вет­ствен­но, а се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся ром­бом.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь ос­но­ва­ния равна 3, а пло­щадь се­че­ния равна 6.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M  — се­ре­ди­на ребра D₁C₁, а на реб­рах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки Q и N так, что и Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость α па­рал­лель­но пря­мой CQ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ну B.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ на се­ре­ди­нах рёбер A₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AB₁M делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A₁.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды AMNB₁, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 4.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB. Точка P делит ребро AB в от­но­ше­нии AP : PB  =  1 : 3, а точка Q се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Через се­ре­ди­ну M ребра BC про­ве­ли плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ную от­рез­ку PQ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AC по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α делит от­ре­зок A₁C₁, счи­тая от точки A₁, если из­вест­но, что AB  =  AA₁, AB : BC  =  2 : 7.

B пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 5, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно  На рёбрах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, причём BK  =  C₁L  =  2. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая A₁C пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­на ко­то­рой  — точка A₁, а ос­но­ва­ние се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью γ.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ на бо­ко­вых реб­рах AA₁, BB₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки K, M и L со­от­вет­ствен­но так, что AK : KA₁  =  B₁M : MB  =  2 : 1, а плос­кость KLM делит пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что L  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если все ребра приз­мы равны 3.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 2, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние A₁MB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния равна 6.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ от­ме­ти­ли точки M и K на реб­рах AA₁ и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  5MA₁, A₁K  =  KB₁. Через точки M и K про­ве­ли плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABB₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ну C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α, если все ребра приз­мы равны 12.