В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 5. На его ребре AA1 отмечена точка M так, что A1M = 3. Через точки M и B1 проведена плоскость α, параллельная AC1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении 1 : 4, считая от вершины D1.
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
а) В плоскости AA1C1 через точку M проведем прямую MN, где N — точка ее пересечения с прямой A1C1. Пусть K и P — точки пересечения прямой B1N с прямыми C1D1 и A1D1, соответственно, L — точка пересечения прямой MP с ребром DD1. Тогда B1KLM — сечение куба плоскостью α. Заметим, что треугольники A1MN и A1AC1, а также NB1C1 и NPA1 — подобны. Тогда
Треугольники PLD1 и PMA1 — подобны, следовательно,
б) Вычислим объем V1 меньшей части куба. Он равен разности объемов двух треугольных пирамид PMB1A1 и PLKD1, причем эти пирамиды подобны с коэффициентом подобия 
Находим:
Тогда объем оставшейся части куба
Ответ: б) 