Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 20, а бо­ко­вое ребро AA1  =  7. Точка M при­над­ле­жит ребру A1D1 и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны D1.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и C рав­но­уда­ле­ны от плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния этой приз­мы плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки B, D и M.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рис. 1

а)  Плос­кость BDM пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AC в его се­ре­ди­не (цен­тре квад­ра­та ABCD). Обо­зна­чим эту се­ре­ди­ну O.

Пусть точка H1  — про­ек­ция A на плос­кость BDM, точка H2  — про­ек­ция C на плос­кость BDM. Тре­уголь­ни­ки AOH1 и COH2 равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, по­это­му AH_1 = CH_2. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  От­ре­зок MN па­рал­ле­лен диа­го­на­ли BD (точка N при­над­ле­жит ребру A1B1), сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние   — тра­пе­ция BDMN (см. рис.). Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ниж­нее ос­но­ва­ние no пря­мой BD, па­рал­лель­ной B1D1, зна­чит, MN па­рал­ле­лен B1D1.

Тре­уголь­ни­ки NA1M и B1A1D1 по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

A_1N : A_1B_1 = A_1M : A_1D_1 = MN : B_1D_1 = 3:5.

Рис. 2

Зна­чит,

BD = B_1 D_1 = 20 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

MN= 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках BB1N и DD1M:

DM = BN = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BB_1 в квад­ра­те плюс B_1N в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 113 конец ар­гу­мен­та ,

зна­чит, тра­пе­ция BDMN рав­но­бед­рен­ная.

Пусть NH  — вы­со­та тра­пе­ции BDMN, про­ведённая к ос­но­ва­нию BD (см. рис.), тогда

BH= дробь: чис­ли­тель: BD минус MN, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , NH = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BN в квад­ра­те минус BH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = 9.

Таким об­ра­зом, пло­щадь се­че­ния приз­мы равна

S_BDMN = дробь: чис­ли­тель: BD плюс MN, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на NH = 144 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б)  144 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025