Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма ABCDA1B1C1D1. На ребре BB1 от­ме­че­на точка Q такая, что BQ : QB1  =  2 : 7. Плос­кость α про­хо­дит через точки A и Q па­рал­лель­но пря­мой BD. Эта плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро CC1 в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что C1M : CC1  =  5 : 9.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если AB=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , AA1  =  18.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть се­че­ние пе­ре­се­ка­ет ребро DD1 в точке R. Тогда пря­мая QR лежит в плос­ко­сти BB1D1D и па­рал­лель­на BD. Пусть T  — центр ос­но­ва­ния, а S  — точка пе­ре­се­че­ния AM и QR. Тре­уголь­ни­ки AST и AMC по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия 2, ST=BQ= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби BB_1, CM=2ST= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби BB_1, от­ку­да

C_1M= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби BB_1= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби CC_1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: C_1M, зна­ме­на­тель: CC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

б)  За­ме­тим, что AQ в квад­ра­те =AB в квад­ра­те плюс BQ в квад­ра­те , далее

QM в квад­ра­те =BC в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка MC минус QB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =AB в квад­ра­те плюс BQ в квад­ра­те ,

сле­до­ва­тель­но, AQMR  — ромб. Имеем RQ=BD=6, тогда

AM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс CM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на 18 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =10.

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

S_AQMR= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби RQ умно­жить на AM=30.

Ответ: б) 30.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 357
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пло­щадь се­че­ния, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная приз­ма, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026