а)  Пусть плос­кость AB₁M и пря­мая A₁N пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Рас­смот­рим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AA₁N: точка N₁  — се­ре­ди­на сто­ро­ны B₁C₁, по­это­му от­ре­зок NN₁ па­рал­ле­лен ребру AA₁, точка N₁ лежит в плос­ко­сти AA₁N.

Обо­зна­чим P точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан AN₁ и B₁M. По свой­ству ме­ди­ан Тогда тре­уголь­ни­ки A₁PK и NAK по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Сле­до­ва­тель­но,

б)  Удво­им от­ре­зок В₁N, про­длив его за точку N до пе­ре­се­че­ния с пря­мой СС₁ в точке С₂. Ясно, что C₁С₂  =  2C₁C. Пи­ра­ми­ды NAMB₁ и С₂AMB₁ имеют общее ос­но­ва­ние AMB₁, а их вы­со­ты, про­ве­ден­ные к этому ос­но­ва­нию из точек N и С₂ со­от­вет­ствен­но, от­но­сят­ся как 1 : 2. Сле­до­ва­тель­но,

где h  — вы­со­та, про­ве­ден­ная к плос­ко­сти С₂AM из точки B₁.

Ясно, что эта вы­со­та  — от­ре­зок B₁M, по­сколь­ку пря­мая B₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым A₁C₁ и AC, ле­жа­щим в плос­ко­сти С₂AM, а зна­чит, пер­пен­ди­ку­ляр­на и самой этой плос­ко­сти. Таким об­ра­зом,

Чтобы найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка С₂AM, вы­чтем из пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и по­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

б)  За­ме­тим, что:

Из фор­му­лы объ­е­ма где h  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка B₁MC₁, про­ве­ден­ная из точки M, вы­ра­зим вы­со­ту: Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка B₁NCC₁:

от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды AMNB₁ равен

При­ве­дем ре­ше­ние ме­то­дом ко­ор­ди­нат (Алек­сандр Тур­ба­нов, Ли­пецк).

а)  Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке A, на­пра­вим ко­ор­ди­нат­ные оси, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть и опре­де­лим ко­ор­ди­на­ты точек:

Плос­кость AMB₁ про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, по­это­му ее урав­не­ние имеет вид Под­став­ляя в урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точек M и B₁, по­лу­ча­ем:

Таким об­ра­зом,

Пусть точка Q делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3, и опре­де­лим ее ко­ор­ди­на­ты:

то есть Про­ве­рим, что точка Q при­над­ле­жит плос­ко­сти AMB₁. Под­став­ляя ко­ор­ди­на­ты точки в урав­не­ние плос­ко­сти, по­лу­чим вер­ное ра­вен­ство:

Сле­до­ва­тель­но, плос­кость AMB₁ делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3.

б)  Для вы­чис­ле­ния объ­е­ма пи­ра­ми­ды при­ме­ним фор­му­лу

Из усло­вия сле­ду­ет, что и Урав­не­ние плос­ко­сти AMB₁ при­ни­ма­ет вид то есть Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти, най­дем по фор­му­ле:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AA₁M по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра на­хо­дим: В тре­уголь­ни­ке A₁B₁M най­дем

Пря­мая B₁M пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ACC₁, по­это­му пер­пен­ди­ку­ляр­на и пря­мой AM. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AB₁M пря­мо­уголь­ный. Найдём его пло­щадь:

Таким об­ра­зом,