В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B₁ и D, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AA₁ и CC₁ в точ­ках M и K со­от­вет­ствен­но, а се­че­ние приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся ром­бом.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь ос­но­ва­ния равна 3, а пло­щадь се­че­ния равна 6.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость про­хо­дит через вер­ши­ны B₁ и D и пе­ре­се­ка­ет ребра AA₁ и CC₁ в точ­ках M и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что M  — се­ре­ди­на AA₁.

а)  До­ка­жи­те, что MB₁KD  — ромб.

б)  Най­ди­те пло­щадь ромба MB₁KD, если объем приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 9, а пло­щадь ее ос­но­ва­ния ABCD равна 3.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что и Через точки B₁ и D па­рал­лель­но пря­мой AC про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро CC₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти се­че­ния.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 3. На ребре BB₁ от­ме­че­на точка K так, что KB  =  2. Через точки K и С₁ про­ве­де­на плос­кость па­рал­лель­ная пря­мой BD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра A₁B₁.

б)  Най­ди­те угол на­кло­на плос­ко­сти α к плос­ко­сти грани BB₁C₁С.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B₁ и D, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AA₁ и CC₁ в точ­ках M и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что четырёхуголь­ник MB₁KD  — ромб.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁, если пло­щадь её ос­но­ва­ния ABCD равна 4, а пло­щадь ромба MB₁KD равна

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ на се­ре­ди­нах рёбер A₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость AB₁M делит от­ре­зок A₁N в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A₁.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды AMNB₁, если сто­ро­на ос­но­ва­ния приз­мы равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 4.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния ABC равны 12, а бо­ко­вые ребра  — 25. На реб­рах AB, AC и SA от­ме­че­ны точки F, E и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AE  =  AF  =  10, AK  =  15.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды KAEF со­став­ля­ет от объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью KEF.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K делит ребро BC в от­но­ше­нии BK : KC  =  2 : 1, AB  =  6 и

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость OMK па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMK пе­ре­се­ка­ет грань SAD.

Дана пра­виль­ная пи­ра­ми­да SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC, точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер AB и SC со­от­вет­ствен­но. Точки N и L на сто­ро­нах BC и SA со­от­вет­ствен­но рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что LA  =  4SL и пря­мые NL и MK пе­ре­се­ка­ют­ся.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые LK, MN и BS пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC точки M и K  — се­ре­ди­ны ребер AB и SC со­от­вет­ствен­но. На про­дол­же­нии ребра SB за точку S от­ме­че­на точка R. Пря­мые RM и RK пе­ре­се­ка­ют ребра AS и BC в точ­ках N и L со­от­вет­ствен­но, при­чем 2BL  =  3LC.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MK и NL пе­ре­се­ка­ют­ся.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

Все рёбра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 10. Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой SA и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет рёбра SC и SD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Точка N делит ребро SD в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра SC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMN пе­ре­се­ка­ет грань SBC.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN и пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на реб­рам AB и CD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что BK  =  ⁠1 и KC  =  ⁠5.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC точки M и K  — се­ре­ди­ны ребер AB и SC со­от­вет­ствен­но, а точки N и L от­ме­че­ны на реб­рах SA и BC со­от­вет­ствен­но так, что от­рез­ки MK и NL пе­ре­се­ка­ют­ся, а

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MN, KL и SB пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

Дана пра­виль­ная пи­ра­ми­да SABC, точки M и K  — се­ре­ди­ны рёбер AB и SC со­от­вет­ствен­но. Точки N и L на сто­ро­нах SA и BC со­от­вет­ствен­но рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что AN  =  3NS и пря­мые NL и MK пе­ре­се­ка­ют­ся.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые LK, MN и BS пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN и пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на рёбрам AB и CD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что и

Все рёбра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 4. Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой SA и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет рёбра SC и SD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Точка N делит ребро SD в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра SC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMN пе­ре­се­ка­ет грань SBC.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка K делит ребро BC в от­но­ше­нии а и

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость OMK па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMK пе­ре­се­ка­ет грань SAD.

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  5 и BC  =  ⁠12. Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SB  =  9,

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми SC и BD.

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  8 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды SA  =  15, SB  =  17,

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти SBC.

Ос­но­ва­ни­ем четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми AB  =  24 и BC  =  7. Бо­ко­вые ребра и SD  =  10.

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми SC и BD.