а)  По­ка­жем, что сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка MNKL равны и диа­го­на­ли равны:

По­это­му MNKL  — квад­рат.

б)  Пло­щадь се­че­ния яв­ля­ет­ся сум­мой пло­ща­ди квад­ра­та со сто­ро­ной и двух пло­ща­дей рав­ных рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ков с ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми Пло­щадь квад­ра­та равна 8, пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков на­хо­дим как по­ло­ви­ну про­из­ве­де­ния вы­со­ты на ос­но­ва­ние По­это­му ис­ко­мая пло­щадь се­че­ния равна 10.

Ответ: а) до­ка­за­но; б) 10.

При­ведём дру­гое вы­чис­ле­ние пунк­та б).

За­ме­тим, что ко­си­нус угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью се­че­ния равен Пло­щадь се­че­ния свя­за­на с пло­ща­дью про­ек­ции се­че­ния на плос­кость ос­но­ва­ния фор­му­лой Пло­щадь про­ек­ции равна раз­но­сти пло­ща­ди ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии квад­ра­та и двух рав­но­бед­рен­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков с ка­те­та­ми 2. Таким об­ра­зом, пло­щадь про­ек­ции равна 9 − 4  =  5, а пло­щадь се­че­ния равна 10.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

а)  Плос­кость MNK пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти ос­но­ва­ний ABCD и A₁B₁C₁D₁ по па­рал­лель­ным пря­мым, сле­до­ва­тель­но, пря­мые NK и ML па­рал­лель­ны. От­рез­ки NK и ML не толь­ко па­рал­лель­ны, но и равны, по­сколь­ку равны тре­уголь­ни­ки ND₁K и MBL. Сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник NKLM  — па­рал­ле­ло­грамм.

По­ка­жем, что его смеж­ные сто­ро­ны се­че­ния вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Пусть P  — про­ек­ция точки N на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния, тогда пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки PAM и MBL рав­но­бед­рен­ные, углы PMA и BML равны по 45°, а зна­чит, то есть пря­мые PM и ML пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Но PM яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной NM, по­это­му сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма NM и ML пер­пен­ди­ку­ляр­ны по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние  — пря­мо­уголь­ник.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем длины смеж­ных сто­рон: Тем самым MNKL  — квад­рат. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть W  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых NK и A₁B₁. Тогда WA₁  =  NA₁ как ка­те­ты рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Пусть E  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой WM с реб­ром AA₁. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки WA₁Е и EAM по­доб­ны, а их ка­те­ты MA и WA₁равны. По­это­му равны и дру­гие ка­те­ты, а зна­чит, Е  — се­ре­ди­на AA₁. Ана­ло­гич­но плос­кость MNK пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в его се­ре­ди­не F. В пря­мо­уголь­ни­ке AEFC про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, по­это­му

Се­че­ние  — ше­сти­уголь­ник MENKFL  — со­сто­ит из двух рав­ных тра­пе­ций ENKF и EMLF, причём пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на их ос­но­ва­ни­ям. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь се­че­ния равна