СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 513606

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна 3, а боковое ребро На рёбрах AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A1N = C1K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

Решение.

а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A1B1C1D1 по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны.

Отрезки NK и ML не только параллельны, но и равны, поскольку равны треугольники ND1K и MBL. Поэтому четырёхугольник NKLM — параллелограмм. Покажем, что его стороны перпендикулярны.

Пусть P — проекция точки N на плоскость нижнего основания, тогда прямоугольные треугольники PAM и MBL равнобедренные, углы PMA и BML равны по 45°, а значит, то есть прямые PM и ML перпендикулярны. Но PM является проекцией наклонной NM, поэтому стороны параллелограмма NM и ML перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Вычисления показывают, что

Тем самым, MNKL — квадрат.

б) Заметим, что косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен Площадь сечения связана с площадью проекции сечения на плоскость основания формулой Площадь проекции равна разности площади лежащего в основании квадрата и двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами 2. Тем самым, площадь проекции равна 9 − 4 = 5, а площадь сечения равна 10.

 

Ответ: а) доказано; б) 10.

 

Приведём другое решение.

а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:

Поэтому MNKL — квадрат.

б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A1B1. Тогда WA1 = NA1 как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA1. Прямоугольные треугольники WA1Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA1равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA1. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC1 в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому

Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна

Приведём другое вычисление.

Площадь сечения состоит является суммой площади квадрата со стороной и двух площадей равных равнобедренных треугольников с основанием и боковыми сторонами Площадь квадрата равна 8, площади треугольников находим как половину произведения высоты на основание Поэтому искомая площадь сечения равна 10.

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 28.03.2016. До­сроч­ная волна, ва­ри­ант 101
Классификатор стереометрии: Площадь сечения и площадь проекции сечения, Построения в пространстве, Правильная четырёхугольная призма, Сечение -- параллелограмм, Сечение, проходящее через три точки