Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 675106
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 на бо­ко­вых реб­рах AA1, BB1 и CC1 от­ме­че­ны точки K, M и L со­от­вет­ствен­но так, что AK : KA1  =  B1M : MB  =  2 : 1, а плос­кость KLM делит пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что L  — се­ре­ди­на CC1.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если все ребра приз­мы равны 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AA1  =  3a, CL  =  x, AB  =  b, тогда

S_1 = S_A_1KMB_1 плюс S_B_1C_1LM плюс S_A_1KLC_1 = дробь: чис­ли­тель: a плюс 2a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на b плюс дробь: чис­ли­тель: 2a плюс 3a минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на b плюс дробь: чис­ли­тель: a плюс 3a минус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на b,

S_2 = S_AKMB плюс S_BMLC плюс S_AKLC = дробь: чис­ли­тель: 2a плюс a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на b плюс дробь: чис­ли­тель: a плюс x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на b плюс дробь: чис­ли­тель: x плюс 2a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на b.

По усло­вию S1  =  S2:

дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5a минус x плюс 4a минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a плюс x плюс x плюс 2a пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 9a минус 2x = 3a плюс 2x рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a,

то есть CL  =  C1L.

 

б)  Из пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции AKBM по­лу­ча­ем

KM в квад­ра­те = AB в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка AK минус MB пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 3 в квад­ра­те плюс 1 в квад­ра­те = 10.

Ана­ло­гич­но

ML в квад­ра­те = BC в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка CL минус BM пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 3 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

KL в квад­ра­те = AC в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка AK минус CL пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 3 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке KLM

ко­си­нус \angle KLM = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус 10, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 34, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 37, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 37 конец дроби ,

синус \angle KLM = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 37 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 умно­жить на 54 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 37 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 37 конец дроби .

Тогда

S_KLM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на KL умно­жить на LM умно­жить на синус \angle KLM = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 37 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 30 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 492
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Пло­щадь се­че­ния, Де­ле­ние от­рез­ка, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025