ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 640280 Добавить в вариант

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ c ребрами $AB = BC = 6$ и AA₁  =  12, точки M и K  — середины AB и ВС соответственно. Точка  N лежит на ребре  BB₁, причем BN  =  6. Через точку  D провели плоскость α параллельно плоскости  KMN.

а)  Докажите, что плоскость α проходит через точки  A₁ и  C₁.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью α.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть точки O и O₁  — центры нижнего и верхнего оснований призмы соответственно, а L  — точка пересечения прямых BD и KM. Заметим, что отрезок KM  — средняя линия треугольника ABC, следовательно, прямые KM, AC и A₁C₁ параллельны между собой.

Кроме того, точка L  — середина отрезка BO, поэтому отрезок NL  — средняя линия треугольника BOB₁. Значит, прямая  NL параллельна прямой  OB₁. Покажем, что прямая  OB₁ также параллельна прямой  DO₁. Действительно, четырехугольник ODO₁B₁  — параллелограмм, так как стороны его противоположные стороны OD и O₁B₁ параллельны и равны. Итак, прямые NL, OB₁ и DO₁ параллельны между собой.

Таким образом, плоскости KMN и DA₁C₁ содержат две пары пересекающихся параллельных прямых и, следовательно, параллельны. Заметим, что, таким образом, плоскости α и DA₁C₁  — параллельны и обе эти плоскости проходят через точку  D. Поэтому плоскость DA₁C₁ совпадает с плоскостью α.

б)  Из п. а) следует, что сечением является треугольник DA₁C₁. По теореме о трех перпендикулярах отрезки DO₁ и A₁C₁ перпендикулярны, поскольку отрезок  D₁O₁ перпендикулярен диагонали  A₁C₁. Отсюда находим:

$A_1C_1 = AC = BD =B_1D_1 = AB корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,$

значит,

$O_1D_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби B_1 D_1= 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

$DO_1= корень из: начало аргумента: DD_1 в квадрате плюс D_1 в степени левая круглая скобка \phantom2 конец аргумента правая круглая скобка O_1 в квадрате =9 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Таким образом, площадь сечения призмы плоскостью α равна:

$S_DA_1C_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A_1C_1 умножить на DO_1= 54.$

Ответ: б)  54.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 426

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: Сечение, параллельное или перпендикулярное плоскости, Площадь сечения, Правильная четырёхугольная призма

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь