В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3, а точка Q середина ребра A1C1. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит отрезок A1C1, считая от точки A1, если известно, что AB = AA1, AB : BC = 2 : 7.
а) Пусть N — середина AC, T — середина AB. Тогда прямая PN параллельна прямой TC как средняя линия треугольника ATC. Прямая CT перпендикулярная прямой MN, поскольку прямые CT и AB перпендикулярны, а прямые AB и MN параллельны. Значит, прямая PN перпендикулярна прямой MN, тогда, по теореме о трех перпендикулярах, прямые PQ и MN перпендикулярны. Пусть плоскость α пересекает AC в точке N1. Тогда прямая MN1 перпендикулярна прямой PQ, и потому точки N и N1 совпадают. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим сечение призмы плоскостью CC1T. Пусть точка O — середина TC, точка O1 — середина T1C1, R — точка пересечения плоскости α и прямой C1T1. Кроме того, пусть ВC = 7x, AB = TT1 = 2x, тогда 
Следовательно,
Тогда 
Имеем:
Заметим, что и отрезок A1C1 поделится плоскостью α в том же отношении.
Ответ: б) 1 : 2.