В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 2, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние A₁MB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния равна 6.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 4, точка M  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние A₁MB  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния равна 18.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ от­ме­ти­ли точки M и K на реб­рах AA₁ и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AM  =  5MA₁, A₁K  =  KB₁. Через точки M и K про­ве­ли плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABB₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ну C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α, если все ребра приз­мы равны 12.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ от­ме­ти­ли точки M и K на реб­рах AA₁ и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что A₁M  =  2AM, A₁K  =  KB₁. Через точки M и K про­ве­ли плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ABB₁A₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ну C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α, если все ребра приз­мы равны 20.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  1. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  4. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  2. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна 

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD. Плос­кость α про­хо­дит через ребро AB и пе­ре­се­ка­ет ребра SC и SD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD через ребро AB про­ве­ли плос­кость α, об­ра­зу­ю­щую се­че­ние ABMN, где M и N  — точки пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с бо­ко­вы­ми рёбрами SC и SD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что точки M и N делят ребра SC и SD в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стью ос­но­ва­ния ABCD и плос­ко­стью α.

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD и пе­ре­се­ка­ет ребро SA в точке K. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком пло­ща­дью 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  В каком от­но­ше­нии точка K делит ребро SA, счи­тая от точки S, если объём пи­ра­ми­ды равен 

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD и пе­ре­се­ка­ет ребро SA в точке K. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком пло­ща­дью 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  В каком от­но­ше­нии точка K лежит ребро SA, счи­тая от вер­ши­ны S, если объём пи­ра­ми­ды равен 

Дана пра­виль­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁. Точка K лежит на ребре AB и делит его в от­но­ше­нии AK : KB  =  3 : 1. Точка L  — се­ре­ди­на ребра BC. Плос­кость α про­хо­дит через точки K и L и пе­ре­се­ка­ет ребра B₁C₁ и A₁B₁ в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что B₁M : MC₁  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что MN ⊥ AB.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если все рёбра приз­мы равны.

На реб­рах BC, AB и AD пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки L, M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что BL : LC  =  AM : MB  =  AN : ND  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через точки L, M и N, делит ребро CD в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны C.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если AB  =  6.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 3, а бо­ко­вое ребро SA равно 5. На ребре AC от­ме­че­на точка M, а на про­дол­же­нии ребра BC за точку C  — точка N так, что CM  =  CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны, на ребре AA₁ от­ме­че­на точка M. Из­вест­но, что AM  = 3MA₁. Через точки M и C₁ про­ве­ли плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­но грани ABB₁A₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A₁B₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те вы­со­ту приз­мы, если пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью α равна 

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, O  — центр грани A₁B₁C₁D₁. Плос­ко­сти (AOB) и (BOC)  — пря­мо­уголь­ни­ки, и сто­ро­ны AB и BC яв­ля­ют­ся их мень­ши­ми сто­ро­на­ми. AB и BC в 3 раза мень­ше со­от­вет­ствен­ных боль­ших сто­рон се­че­ний.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между A₁C и (BOC).

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁, O  — центр грани A₁B₁C₁D₁. Плос­ко­сти (AOB) и (BOC)  — пря­мо­уголь­ни­ки, и сто­ро­ны AB и CD яв­ля­ют­ся их мень­ши­ми сто­ро­на­ми. AB и BC в 2 раза мень­ше со­от­вет­ствен­ных боль­ших сто­рон се­че­ний.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — квад­рат.

б)  Най­ди­те угол между CA₁ и (BOC).