PDF-версии: 
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение. Решение системы может быть единственным в двух случаях.
1 случай. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
Если 
то 
а значит, 
При этом значении a система принимает вид:
Единственное решение 
Если 
то 
и 
Система принимает вид:
При этом значении a система имеет бесконечно много решений.
2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.
Первое неравенство имеет единственное решение при
При этом первое неравенство имеет единственное решение 
которое удовлетворяет второму неравенству.
Второе неравенство имеет единственное решение при
При этом второе неравенство имеет единственное решение 
которое не удовлетворяет первому неравенству.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получены оба значения  но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
С помощью верного рассуждения получено одно из значений  | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию системы уравнений. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
решений.
получим систему
либо 
следовательно, 
Система 
следовательно, 
Получаем систему:
с центром 
и 
пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен 
откуда 
или 
и 
имеет не больше четырех решений. Действительно,
соответствует симметричная относительно прямой x = 1 общая точка графиков.
функции f и g обладают следующими свойствами:
имеет ровно шесть решений.
дающие решение системы, должны удовлетворять условиям
при условиях 
и 
имеет при 
решение 
решений нет, при 
(*) должно иметь корни, ровно два из которых удовлетворяют неравенству 
Тогда уравнение (*) принимает вид 
Это уравнение имеет два различных положительных корня 
при 
Таким образом, 
откуда 
Поскольку 
а 
то 
а 
при 
выполнено для всех 
поскольку левая часть неравенства больше 1, а правая — меньше 1. Таким образом, система имеет ровно два решения при 
откуда 
при подстановке в первое уравнение системы 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1; 1) не является решением исходной системы.
получаем:
получаем 
или 
то есть a = −3.
и/или 
и при этом рассмотрен случай 
и 
возможно, c включением точек 
или два промежутка 
возможно, с включением граничных точек.
Это уравнение задает окружность ω радиусом 1 с центром в точке 
Второе уравнение системы задает пару прямых 
пересекающихся в точке 
равно числу корней квадратного уравнения 
при 
то есть при 
и 
и/или 
или возможно, с включением граничных точек и/или одной из точек a = −1 или a = −0,6.
откуда 
получаем:
то есть при 
и/или 
, и при этом рассмотрен случай 
и 
возможно, с включением точек 
и/или 
, или два промежутка 
и 
возможно, с включением граничных точек.
и 
а при 
пару параллельных прямых l1 и l2, заданных уравнениями 
и 
соответственно.
и/или 
, но неверно определены промежутки значений a.
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек.
и 
и/или 
но неверно определены промежутки значений a.
или два промежутка 
и 
, возможно, с включением граничных точек.
Тогда первая строчка системы выглядит как 
а вся система имеет ровно два различных решения. Значит, 
Подставим поочередно оба этих значения в первую строчку системы и решим квадратное уравнение относительно x.
То есть, уравнение-следствие имеет два корня при 
То есть уравнение-следствие имеет два корня при 
и получим ответ: 
Получим 
или 
при условии 
является прямая с неотрицательным угловым коэффициентом, равным 
определённая при 
проходящая через начало координат.
(красная прямая) пересекает окружность 
(зелёная прямая) пересекает окружность 
(оранжевая прямая) касается окружности 
С графиком уравнения 
(малиновая прямая) не имеет общих точек с окружностью 
С графиком уравнения 
То есть 
то уравнение не имеет корней. 
имеем квадратное уравнение относительно y. Его дискриминант должен быть положительным.
или 
две пары чисел 
и 
являются решениями исходной системы.
или 
две пары чисел 
и 
являются решениями исходной системы.
или 
и 
и / или 
но неверно определены промежутки значений a.
и 
возможно, с включением граничных точек.
Подставим данные значения во второе уравнение системы:
первое уравнение системы принимает вид:
откуда x = a или y = a. 
для которых выполнено условие 
принимает вид 
условие 
условие 
левая часть первого уравнения системы не определена, а при −6 < y < 6 первое уравнение системы принимает вид:
откуда 
В этих случаях получаем, что 
и 
соответственно.
откуда 
В этих случаях получаем, что 
соответственно.
для которых выполнено условие −6 < y < 6.
условие −6 < y < 6 принимает вид: 
условие −6 < y < 6 принимает вид
левая часть первого уравнения системы не определена, а при 
первое уравнение системы принимает вид:
В этих случаях получаем, что 
соответственно.
В этих случаях получаем, что 
соответственно.
для которых выполнено условие 
условие 
условие 
первое уравнение системы принимает вид: 
или 
откуда 
и a > 0 уравнение 
принимает вид 
откуда x = 0 или 
принимает вид 
откуда 
или 
условие 
При положительных a корень 
условие 
и 
не равны нулю при положительных a и совпадают при
является корнем первого уравнения системы, то решениями системы являются две пары чисел 
и 
Значит, система будет иметь ровно 4 решения тогда и только тогда, когда дискриминант первого уравнения положителен, и 
не является корнем первого уравнения. Получаем:
с центром в точке (1; 1).
и радиусом 
при 
вырождающуюся в точку 
равно радиусу окружности. При 
центр окружности находится ниже ломаной, значит, система также имеет единственное решение 
система может иметь одно, три или пять решений. Три решения система имеет, если окружность касается лучей прямых 
то есть если расстояние от центра окружности до прямых (в частности, до прямой 
) равно радиусу окружности. Воспользуемся формулой расстояния от точки 
система имеет одно решение, а при 
— пять решений.
и лежащих выше неё. Решением второго неравенства системы является множество точек плоскости xOy принадлежащих прямой 
и лежащих ниже неё. Значит, система не имеет решений, если парабола и прямая не имеют общих точек; система имеет бесконечно много решений, если парабола и прямая имеют две общие точки; система имеет ровно одно решение, если парабола и прямая имеют только одну общую точку (прямая касается параболы). 
равен нулю. Запишем уравнение в виде
или 
имело два различных корня, больший из которых меньше 1. Найдём эти корни:
Найдём значения параметра, при которых больший из корней меньше 1:
Уравнение 
позволяет для любого значения x получить ровно одно значение y, поэтому количество решений второй системы совпадает с количеством неположительных корней первого уравнения этой системы:
получим уравнение с одной переменной
— корень полученного уравнения. При этом левая часть уравнения представляет собой убывающую функцию, а правая — возрастающую, значит, уравнение имеет не более одного корня, а потому других корней нет. 
и это решение достигается при 
тогда
тогда выражение в скобках в левой части уравнения можно записать как и 
При 
функция z(t) принимает все неотрицательные значения. Функция 
при 
не определена, а при положительных значениях z принимает все значения, не меньшие 2. Поэтому левая часть уравнения принимает все значения, не меньшие 
и воспользоваться известным утверждением о том, что множество значений функции 
представляет собой луч 
Можно было бы, наоборот, не сводить задачу к известной, а, получив уравнение
При помощи производной можно найти множество значений этой функции: 
Этим задача сведена к неравенству 
Пусть 
тогда 
и прибавив к нему второе, получим
тогда:
каждое из двух слагаемых левой части уравнения (⁎) отрицательно. Значит, это уравнение, а вместе в ним и исходная система не имеют решений. При 
каждое из двух слагаемых левой части уравнения (⁎) неотрицательно. Значит, это уравнение обращается в верное равенство, только при 
При 
первое слагаемое равно нулю, значит, либо n = 0, либо n = 1. При 
второе слагаемое равно нулю, значит, либо m = 0, либо m = 1. Таким образом, система относительно переменных m и n имеет ровно четыре решения: (0; 0), (0; 1), (1; 0) и (1; 1).
и 
тогда система принимает вид
при 
и пара 
при 
Рассмотрим функцию 
Найдем производную: 
Функция f имеет максимум в точке 
и минимум в точке 
Отсюда, учитывая характер монотонности, заключаем, что уравнение 
имеет единственное решение при 
или при 
Так как 
достаточно рассмотреть только второе условие: 
Осталось заметить, что при 
Правая часть второго уравнения полученной системы отрицательна: 
Получаем систему: 
найдем производную этой функции: 
Найденная производная равна нулю и меняет знаки точках 
Найдем экстремумы функции: 
функция f(x) возрастает, принимая значения от –∞ до 22; на отрезке [−2; 2] функция убывает, принимая значения от −10 до 22; на луче 
функция f(x) возрастает, принимая значения от −10 до +∞. Таким образом, в рассматриваемом случае 
и при таких значениях параметра система имеет 3 решения.
В этом случае имеем:
Положим 
найдем производную: 
Точками экстремума являются 
найдем экстремумы:
то и 
Следовательно, количество решений системы зависит от знака выражения g(2). При 
имеется 3 решения, при 
— 
— 
заключаем, что Гипербола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой 
лежащих не ниже прямой 
прямая 
проходит через точку D, при 
— через точку С. Подставим координаты точки D, получим:
имеет один корень:
(соответствующая прямая выделена на рисунке синим) или 
(выделено зеленым). При 
или при 
прямая пересекает гиперболу в двух точках. Если 
то прямая и гипербола не имеют общих точек.
прямая 
— общую точку A(−2; 5). Тогда исходная система:
имеет одно решение;
— два решения;
— три решения;
— два решения;
— одно решение;
— два решения;
— три решения.
получаем, что каждому значению x, удовлетворяющему системе, соответствует ровно одно значение y. Поэтому количество решений системы совпадает с количеством корней уравнения 
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
то 
принимает вид
тогда:
раскрывая модуль, получаем уравнение 
решениями которого являются 
Для найденных решений неравенство 
принимает вид
два решения — случаи 2а) и 2б).
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
два решения — случаи 1а) и 2б).
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
где 
и 
Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим полученные уравнения — получим следствие системы:
то 
и на отрезке 
получаем: 
то 
то 
и на на отрезке 
система имеет два решения на заданном отрезке.
то 
и на на отрезке 
при 
