Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 520788

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

 система выражений ax в квадрате плюс ay в квадрате минус левая круглая скобка 2a минус 5 правая круглая скобка x плюс 2ay плюс 1=0,x в квадрате плюс y=xy плюс x конец системы .

имеет ровно четыре различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Решим второе уравнение системы.

x в квадрате плюс y=xy плюс x равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=1,y=x. конец совокупности .

При a = 0 исходная система имеет единственное решение —  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка .

При a не равно 0 при подстановке в первое уравнение системы x=1илиy=x получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1;1) не является решением исходной системы.

При x = 1 получаем:

ay в квадрате плюс 2ay плюс 6 минус a=0

Это квадратное уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:

4a в квадрате плюс 4a в квадрате минус 24a больше 0 равносильно a в квадрате минус 3a больше 0,
откуда a < 0 или a > 3.

При y=x получаем:

2ax в квадрате плюс 5x плюс 1=0.

Это квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:

25 минус 8a больше 0,
откуда, учитывая условие a не равно 0, получаем a меньше 0 или 0 меньше a меньше дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби .

Пара чисел (1;1) является решением исходной системы при 2a плюс 6=0, то есть a = −3.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при a меньше минус 3; минус 3 меньше a меньше 0;3 меньше a меньше дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби .

Ответ: a меньше минус 3; минус 3 меньше a меньше 0;3 меньше a меньше дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, возможно, отличающееся от искомого только включением точек a=3 и/или a= дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби , и при этом рассмотрен случай a=0 3
С помощью верного рассуждения получены промежутки  левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка , возможно, c включением точек a=3 и/или a= дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби ,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения

2
Верно рассмотрен хотя бы один и случаев решения и получен или промежуток  левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 25, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка , или два промежутка  левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка , возможно, с включением граничных точек

ИЛИ

задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически)

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (C часть)., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2018
Классификатор алгебры: Системы с параметром