Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 
решений.
Запишем систему в виде
Полагая 
получим систему
имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y) — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо 
либо 
Если u = 0, то 
следовательно, 
Система
имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.
Если y = 0, то 
следовательно, 
Получаем систему:
Она имеет 6 решений, поскольку каждому значению y соответствует два разных значения u.
Ответ: 
Приведем идею графического решения.
Запишем систему в виде
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно *, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки 
и 
пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен 
откуда 
или 
*) Докажем это. Рассмотрим на отрезке [–3; 5] функции:
и
Их графиками являются соответственно часть параболы и верхняя полуокружность с центром в точке (1; 0) радиусом |a|.
При любом значении параметра а справедливо следующее:
а) Графики функций симметричны относительно прямой x = 1, поскольку эта прямая является осью симметрии параболы, и центр окружности лежит на этой прямой.
б) Функции f и g не могут иметь больше четырех общих точек, поскольку уравнение 
имеет не больше четырех решений. Действительно,
а уравнение четвертой степени имеет не больше четырех корней.
в) Из пунктов а) и б) следует, что слева от прямой x = 1 графики функций имеют не более двух общих точек, и каждой общей точке графиков при 
соответствует симметричная относительно прямой x = 1 общая точка графиков.
При 
функции f и g обладают следующими свойствами:
г) Функции f и g в точке x = –3 принимают одно и то же значение, а потому точка (–3; 0) и симметричная ей точка (5; 0) являются общими точками графиков.
д) Правые касательные лучи к графикам в точке x = –3 составляют с осью абсцисс разные углы, поскольку касательный луч к окружности вертикален, а касательный луч к параболе — нет.
е) Из пунктов г) и д) следует, что на правой полуокрестности точки x = –3 график функции f лежит ниже графика функции g.
ё) В точке x = 1 график функции f лежит выше графика функции g (вершина параболы лежит над окружностью), поскольку 
ж) Из пунктов е) и ё) следует, что на интервале (–3; 1) графики функций f и g имеют общую точку, а потому имеют и симметричную ей относительно прямой x = 1 общую точку на интервале (1; 5).
з) Из пунктов б) и ж) следует, что графики функций f и g на отрезке [–3; 5] имеют четыре общие точки, а больше четырех общих точек быть не может.
и) Рассмотрим теперь функции −f и –g, их графики симметричны графикам функций f и g относительно оси абсцисс (на рисунке это парабола, вершина которой лежит ниже оси абсцисс, и нижняя полуокружность). Проводя аналогичные рассуждения получим, что при графики функций –f и –g имеют на отрезке [–3; 5] имеют ровно четыре общие точки.
к) Точки (–3; 0) и (5; 0) являются общими для графиков f и g и −f и –g, поэтому из пунктов з) и и) следует, что при система уравнений 
имеет ровно шесть решений.
Осталось показать, что прочие значения параметра не подходят. Оставим это читателю в качестве упражнения.
Примечание Дмитрия Гущина.
Обратим внимание читателя, что использовать графический способ решения задач можно только в том случае, когда «увиденные» на графиках свойства либо:
а) очевидны: например, окружность, заключающая вершину параболы, имеет с ней ровно две общие точки;
б) изучены в школьном курсе: например, прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, является касательной к ней;
в) напрямую следуют из изученного материала: квадратичная функция является выпуклой вверх или вниз (это доказывается путем устного взятия второй производной).
Если вы не можете в один-два шага устно объяснить какой-то снятый с рисунка факт, считать его доказанным нельзя. Скажем, невертикальную прямую, имеющую единственную общую точку с параболой, не следует без необходимости называть касательной: проверяющий ЕГЭ эксперт может посчитать это необоснованным. В таком случае на апелляции вам поможет, только если вы объясните, как быстро устно прийти к такому заключению или в каком учебнике упомянуто это свойство. Другой пример: на рисунке изображена окружность с центром, лежащим внутри параболы на ее оси, имеющая с параболой ровно две общие точки. По рисунку нельзя заключать, что эти точки являются точками касания. А потому и заключение, что при небольшом увеличении радиуса окружности точек пересечения станет четыре не будет обоснованным. Также из рисунка нельзя делать вывод о том, могут ли окружность и парабола иметь ровно три точки касания и т. д.
Предложу совсем другое решение: переписав систему в виде
видим, что оба уравнения задают множества симметричные от y=0 и x=1, поэтому и множество решений системы симметрично от этих прямых. Тогда все решения в которых y≠0 и x≠1 разбиваются на непересекающиеся четвёрки вида (x_0, y_0), (2-x_0, y_0), (x_0, -y_0), (2-x_0, -y_0), иными словами симметричны друг другу части множества решений, заключённые в четырёх частях, на которые плоскость делят прямые x=1 и y=0. Число 6 на 4 не делится, поэтому чтобы решений было ровно 6, необходимо, чтобы было решение, в котором либо y=0, либо x=1. В первом случае получаем |a|=16, во втором |a|=4.
Теперь выясним, какие из этих значений действительно подходят: в (1) заменим второе уравнение на его разность с первым, назовём это (*') При |a|=4 (*') <=> |y|=0 или |y|=1, откуда в первом случае x=-3 или x=5, во втором x=1+sqrt(15) или x=1-sqrt(15), всего 6 решений. При |a|=16 (*') <=> |y|=-15 или |y|=16 <=> |y|=16, откуда x=1, т.е. всего 2 решения.