Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 526905
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс 2=0,xy минус 1=x минус y конец си­сте­мы .

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы при­ве­дем к виду левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. То есть со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 1,y=1. конец со­во­куп­но­сти .

Рас­смот­рим два слу­чая, под­ста­вив эти зна­че­ния в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы.

1)  x= минус 1:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка y в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка y плюс 4=0.

Если a= минус 1, то урав­не­ние не имеет кор­ней.

Если a не равно минус 1, имеем квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но y. Его дис­кри­ми­нант дол­жен быть по­ло­жи­тель­ным.

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 16 левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 ,a не равно минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a в квад­ра­те минус 14a минус 15 боль­ше 0,a не равно минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше минус 1,a боль­ше 15. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, при a мень­ше минус 1 или a боль­ше 15 две пары чисел левая круг­лая скоб­ка минус 1; y_1 пра­вая круг­лая скоб­ка и левая круг­лая скоб­ка минус 1; y_2 пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми ис­ход­ной си­сте­мы.

2)  y=1:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 2a плюс 4=0.

Если a= минус 1, имеем: x=1.

Если a не равно минус 1, имеем квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но x. Его дис­кри­ми­нант дол­жен быть по­ло­жи­тель­ным.

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 8 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 3a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,a не равно минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 7a в квад­ра­те плюс 26a плюс 15 мень­ше 0,a не равно минус 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус 3 мень­ше a мень­ше минус 1, минус 1 мень­ше a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, при минус 3 мень­ше a мень­ше минус 1 или минус 1 мень­ше a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби две пары чисел левая круг­лая скоб­ка x_1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и левая круг­лая скоб­ка x_2; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми ис­ход­ной си­сте­мы.

Найдём зна­че­ние па­ра­мет­ра, при ко­то­ром ре­ше­ния из пер­во­го и вто­ро­го слу­чая сов­па­да­ют, то есть ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся пара чисел левая круг­лая скоб­ка минус 1; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка :

2 левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2=0 рав­но­силь­но a= минус 3.

Пе­ре­се­кая по­лу­чен­ные про­ме­жут­ки из пер­во­го и вто­ро­го слу­ча­ев, ис­клю­чая слу­чай сов­па­де­ния ре­ше­ний, по­лу­ча­ем ито­го­вый ответ: минус 3 мень­ше a мень­ше минус 1.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус 3; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний а, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а.2
Верно по­лу­че­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний а.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 526905: 526906 Все

Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке под ре­дак­ци­ей И.В. Ящен­ко, 2019
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025