ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 520873 Добавить в вариант

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в степени 4 плюс y в квадрате =a в квадрате ,x в квадрате плюс y=|5a минус 12| конец системы .$

имеет ровно четыре различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Исходная система равносильна системе уравнений:

$система выражений x в степени 4 плюс левая круглая скобка |5a минус 12| минус x в квадрате правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате ,y=|5a минус 12| минус x в квадрате конец системы . равносильно система выражений 2x в степени 4 минус 2|5a минус 12|x в квадрате плюс 24a в квадрате минус 120a плюс 144=0,y=|5a минус 12| минус x в квадрате . конец системы .$ $система выражений x в степени 4 плюс левая круглая скобка |5a минус 12| минус x в квадрате правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате ,y=|5a минус 12| минус x в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2x в степени 4 минус 2|5a минус 12|x в квадрате плюс 24a в квадрате минус 120a плюс 144=0,y=|5a минус 12| минус x в квадрате . конец системы .$

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение

$2x в степени 4 минус 2|5a минус 12|x в квадрате плюс 24a в квадрате минус 120a плюс 144=0$

имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение

$2t в квадрате минус 2|5a минус 12|t плюс 24a в квадрате минус 120a плюс 144=0$

имеет ровно два положительных корня.

Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:

$4 левая круглая скобка 5a минус 12 правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 24a в квадрате минус 120a плюс 144 правая круглая скобка больше 0 равносильно 23a в квадрате минус 120a плюс 144 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 23a минус 60 минус 12 корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 23a минус 60 плюс 12 корень из 2 правая круглая скобка меньше 0,$ $4 левая круглая скобка 5a минус 12 правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 24a в квадрате минус 120a плюс 144 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно 23a в квадрате минус 120a плюс 144 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 23a минус 60 минус 12 корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 23a минус 60 плюс 12 корень из 2 правая круглая скобка меньше 0,$

откуда $дробь: числитель: 60 минус 12 корень из 2 , знаменатель: 23 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 60 плюс 12 корень из 2 , знаменатель: 23 конец дроби .$

Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:

$24a в квадрате минус 120a плюс 144 больше 0 равносильно левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка больше 0,$

откуда $a меньше 2; a больше 3.$

Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть $a не равно дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби .$

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения

при $дробь: числитель: 60 минус 12 корень из 2 , знаменатель: 23 конец дроби меньше a меньше 2$ и $3 меньше a меньше дробь: числитель: 60 плюс 12 корень из 2 , знаменатель: 23 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 60 минус 12 корень из 2 , знаменатель: 23 конец дроби меньше a меньше 2;$ $3 меньше a меньше дробь: числитель: 60 плюс 12 корень из 2 , знаменатель: 23 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено значение параметра, но решение недостаточно обосновано.	3
С помощью верного рассуждения получено неверное значение параметра из-за арифметической ошибки.	2
Задача сведена к исследованию биквадратного уравнения.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источники:

ЕГЭ по математике 01.06.2018. Основная волна. Дальний Восток. (Часть 2);

Задания 18 (С6) ЕГЭ 2018.

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь