Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548805

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =4 плюс 2ax минус a в квадрате ,x в квадрате =y в квадрате конец системы .

имеет ровно 4 решения.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем систему

 система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =4 плюс 2ax минус a в квадрате ,x в квадрате =y в квадрате конец системы . равносильно система выражений 2x в квадрате минус 2ax минус 4 плюс a в квадрате =0,y=\pm x. конец системы .

Заметим, что если x_1 является корнем первого уравнения системы, то решениями системы являются две пары чисел  левая круглая скобка x_1; x_1 правая круглая скобка и  левая круглая скобка x_1; минус x_1 правая круглая скобка . Значит, система будет иметь ровно 4 решения тогда и только тогда, когда дискриминант первого уравнения положителен, и x=0 не является корнем первого уравнения. Получаем:

 система выражений a в квадрате минус 2 левая круглая скобка a в квадрате минус 4 правая круглая скобка больше 0, минус 4 плюс a в квадрате не равно 0 конец системы . равносильно система выражений a в квадрате меньше 8,a в квадрате не равно 4 конец системы . равносильно система выражений минус 2 корень из 2 меньше a меньше 2 корень из 2 ,a не равно \pm2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 корень из 2 меньше a меньше минус 2, минус 2 меньше a меньше 2, 2 меньше a меньше 2 корень из 2 . конец совокупности .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 2 корень из 2 ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 2 корень из 2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ по математике 24.07.2020. Резервная волна. Вариант 1, Задания 18 ЕГЭ–2020
Классификатор алгебры: Системы с параметром