Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548856

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =2x плюс 2y,x в квадрате плюс y в квадрате =2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка x плюс 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка y минус 2a в квадрате конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Перепишем первое уравнение в виде:

 x в квадрате минус 2x плюс 1 плюс y в квадрате минус 2y плюс 1=2 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате =2.

Данное уравнение задает окружность радиуса  корень из 2 с центром в точке (1; 1).

Перепишем второе уравнение в виде:

x в квадрате минус 2 левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка x плюс левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате минус 2 левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка y плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате = минус 2a в квадрате плюс левая круглая скобка 1 плюс a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a правая круглая скобка в квадрате равносильно
 равносильно левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =2.

Данное уравнение задает окружность радиуса  корень из 2 с центром в точке (a + 1; 1 − a).

Для того, чтобы две окружности одинакового радиуса пересекались ровно в двух точках, расстояние между их центрами должно быть меньше, чем удвоенный радиус, и центры не должны совпадать. При a = 0 окружности совпадают. Таким образом,

 корень из левая круглая скобка a плюс 1 минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус a минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше 2 корень из 2 равносильно корень из 2a в квадрате меньше 2 корень из 2 равносильно корень из a в квадрате меньше 2 равносильно |a| меньше 2 равносильно минус 2 меньше a меньше 2.

Следовательно,  левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 2; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной 2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: ЕГЭ по математике 25.07.2020. Резервная волна. Вариант 1, Задания 18 ЕГЭ–2020