Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517428
i

Опре­де­ли­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a плюс 3, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно a плюс 4 конец си­сте­мы .

имеет ровно два ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для того чтобы дан­ная си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, урав­не­ние 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a плюс 3 (*) долж­но иметь корни, ровно два из ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно a плюс 4.

По­ло­жим 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =t боль­ше 0, a плюс 4=b. Тогда урав­не­ние (*) при­ни­ма­ет вид левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =b. Это урав­не­ние имеет два раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных корня t=1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та при 0 мень­ше b мень­ше 1. Таким об­ра­зом, 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , от­ку­да x=\log _2 левая круг­лая скоб­ка 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка . По­сколь­ку 0 мень­ше 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 1, а 1 мень­ше 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 2, то \log _2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, а 0 мень­ше \log _2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1.

Не­ра­вен­ство \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно b при 0 мень­ше b мень­ше 1 вы­пол­не­но для всех x мень­ше 1, по­сколь­ку левая часть не­ра­вен­ства боль­ше 1, а пра­вая  — мень­ше 1. Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при 0 мень­ше b мень­ше 1, от­ку­да минус 4 мень­ше a мень­ше минус 3.

 

Ответ: минус 4 мень­ше a мень­ше минус 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: РЕШУ ЕГЭ
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026