Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548494

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

 система выражений логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 36 минус y в квадрате правая круглая скобка = логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 36 минус a в квадрате x в квадрате правая круглая скобка , x в квадрате плюс y в квадрате =2x плюс 6y конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при |y| больше или равно 6 левая часть первого уравнения системы не определена, а при −6 < y < 6 первое уравнение системы принимает вид:

36 минус y в квадрате =36 минус a в квадрате x в квадрате ,

откуда y =ax,y= минус ax.

При y = ax второе уравнение системы принимает вид x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате =2x плюс 6ax, откуда x=0,x= дробь: числитель: 6a плюс 2, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби . В этих случаях получаем, что y=0 и y= дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби соответственно.

При y = −ax второе уравнение системы принимает вид x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате =2x минус 6ax, откуда x=0,x= дробь: числитель: 2 минус 6a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби . В этих случаях получаем, что y=0 и y= дробь: числитель: 6a в квадрате минус 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби соответственно.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел (0;0);  левая круглая скобка дробь: числитель: 6a плюс 2, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус 6a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате минус 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка для которых выполнено условие −6 < y < 6.

Для пары (0;0) условие −6 < y < 6 выполнено.

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 6a плюс 2, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка условие −6 < y < 6 принимает вид:

 минус 6 меньше дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше 6; система выражений 6a в квадрате плюс a плюс 3 больше 0,a минус 3 меньше 0, конец системы

откуда a меньше 3.

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус 6a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате минус 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка условие −6 < y < 6 принимает вид

 минус 6 меньше дробь: числитель: 6a в квадрате минус 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше 6; система выражений 6a в квадрате минус a плюс 3 больше 0,a плюс 3 больше 0, конец системы .

откуда a больше минус 3.

Пары (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 6a плюс 2, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Пары (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус 6a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате минус 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 6a плюс 2, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате плюс 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка и  левая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус 6a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 6a в квадрате минус 2a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a = 0.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при a меньше или равно минус 3; a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; a=0; a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; a \geqslant3.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Задания 18 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи
Методы алгебры: Перебор случаев