Тип 18 № 526907 
Задача с параметром. Аналитическое решение систем
i
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре решения.
Решение. Подставим значение y из второго уравнения в первое:
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение
имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение
имеет ровно два положительных корня.
Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:
откуда
или
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:
откуда
Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при 
и
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек   и / или  | 3 |
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a  но неверно определены промежутки значений a. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения. | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получены два промежутка  и  возможно, с включением граничных точек. ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ:
