Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 521009
i

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка y= левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2ax плюс a минус 2, новая стро­ка y в квад­ра­те =x в квад­ра­те . \endaligned .

имеет ровно че­ты­ре раз­лич­ных ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Начнём ре­ше­ние с рас­смот­ре­ния слу­чая, когда a= минус 2. Тогда пер­вая строч­ка си­сте­мы вы­гля­дит как y= минус 4x минус 4, а вся си­сте­ма имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния. Зна­чит, a не равно минус 2.

Из вто­рой строч­ки си­сте­мы сле­ду­ет, что y=x или y= минус x. Под­ста­вим по­оче­ред­но оба этих зна­че­ния в первую строч­ку си­сте­мы и решим квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но x.

1.  При y=x:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2ax плюс a минус 2 минус x=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 2=0.

Дис­кри­ми­нант дан­но­го урав­не­ния дол­жен быть стро­го боль­ше 0 для по­лу­че­ния двух кор­ней у урав­не­ния-след­ствия и четырёх кор­ней у ис­ход­ной си­сте­мы.

D= левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4a в квад­ра­те минус 4a плюс 1 минус 4a в квад­ра­те плюс 16= минус 4a плюс 17.

От­ку­да a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . То есть, урав­не­ние-след­ствие имеет два корня при a мень­ше минус 2, минус 2 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

2.  При y= минус x:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2ax плюс a минус 2 плюс x=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 2=0.

Ана­ло­гич­но D боль­ше 0.

D= левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4a в квад­ра­те плюс 4a плюс 1 минус 4a в квад­ра­те плюс 16=4a плюс 17,

от­ку­да a боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . То есть урав­не­ние-след­ствие имеет два корня при минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше a мень­ше минус 2, a боль­ше минус 2.

Про­ве­рим, чтобы корни не сов­па­да­ли. Для этого при­рав­ня­ем урав­не­ния-след­ствия из пунк­тов 1 и 2.

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 2= левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a минус 2 рав­но­силь­но x=0,a=2.

Те­перь пе­ре­се­чем пунк­ты 1 и 2, ис­клю­чим a=2 и по­лу­чим ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 2;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 521009: 520963 Все

Источники:
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025