Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548497

Найдите все значения параметра a, при которых система

 система выражений корень из 16 минус y в квадрате = корень из 16 минус левая круглая скобка ax правая круглая скобка в квадрате ,x в квадрате плюс y в квадрате = 8x плюс 4y конец системы .

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при |y| больше 4 левая часть первого уравнения системы не определена, а при  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 первое уравнение системы принимает вид:

16 минус y в квадрате =16 минус a в квадрате x в квадрате ,

откуда y =ax,y= минус ax.

При y = ax второе уравнение системы принимает вид:

x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате =8x плюс 4ax,

откуда x=0,x= дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби . В этих случаях получаем, что y=0 и y= дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби соответственно.

При y = −ax второе уравнение системы принимает вид:

x в квадрате плюс a в квадрате x в квадрате =8x минус 4ax,

откуда x=0,x= дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби . В этих случаях получаем, что y=0 и y= дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби соответственно.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел (0;0);  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка для которых выполнено условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4.

Для пары (0;0) условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 выполнено.

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4 принимает вид:

 минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше или равно 4 ; система выражений 2a в квадрате плюс 2a плюс 1 больше или равно 0,2a минус 1\leqslant0, конец системы .

откуда a меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка условие  минус 4 меньше или равно y меньше или равно 4принимает вид:

 минус 4 меньше или равно дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби меньше или равно 4; система выражений 2a в квадрате минус 2a плюс 1 больше или равно 0,2a плюс 1 больше или равно 0, конец системы .

откуда a больше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Пары (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a= минус 2.

Пары (0;0) и  левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a=2.

Пары  левая круглая скобка дробь: числитель: 4a плюс 8, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате плюс 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка и  левая круглая скобка дробь: числитель: 8 минус 4a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби ; дробь: числитель: 4a в квадрате минус 8a, знаменатель: a в квадрате плюс 1 конец дроби правая круглая скобка совпадают a = 0.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при a меньше минус 2; минус 2 меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; a=0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a меньше 2; a больше 2.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: Задания 18 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Разные задачи
Методы алгебры: Перебор случаев