Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 548483

Найдите все значения параметра a, при которых система

 система выражений корень из 4 минус y в квадрате = корень из 4 минус 4x в квадрате , xy плюс a в квадрате =ax плюс ay. конец системы .

имеет ровно 2 решения.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что при x < −1 и при x > 1 первая часть первого уравнения системы не определена, а при  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1 первое уравнение системы принимает вид:

4 минус y в квадрате = 4 минус 4x в квадрате равносильно y в квадрате =4x в квадрате ;

откуда y=2x,y= минус 2x.

Второе уравнение системы равносильно уравнению  левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка =0, откуда x = a или y = a.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел  левая круглая скобка a;2a правая круглая скобка ; левая круглая скобка a; минус 2a правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ;a правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ;a правая круглая скобка , для которых выполнено условие  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1.

Для пары (a;2a) условие  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1 принимает вид  минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1.

Для пары (a;−2a) условие  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1 принимает вид  минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1.

Для пары  левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ;a правая круглая скобка условие  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1 принимает вид  минус 2 меньше или равно a меньше или равно 2.

Для пары  левая круглая скобка минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ;a правая круглая скобка условие  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1 принимает вид  минус 2 меньше или равно a меньше или равно 2.

Пары  левая круглая скобка a;2a правая круглая скобка ; левая круглая скобка a; минус 2a правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ;a правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби ;a правая круглая скобка , совпадают при a = 0 и попарно различны при других значениях a.

Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно два различных решения при  минус 2 меньше или равно a меньше минус 1; 1 меньше a меньше или равно 2.

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 10.07.2020. Основная волна. Вариант 991, Задания 18 ЕГЭ–2020
Классификатор алгебры: Системы с параметром
Методы алгебры: Перебор случаев