PDF-версии: 1. Тип 15 № 508452 
Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции
Методы алгебры: Метод интервалов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Неравенства. Логарифмические неравенства, разные задачи
i
Решите неравенство: 
Решение. Перенесём все члены в левую часть и умножим на 4:
Заметим, что 
поэтому 
Получаем:
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ:
508452
Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно логарифмической функции
Методы алгебры: Метод интервалов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
являются 
и 
совпадают, решим неравенство:
совпадает со знаком дроби 
Поэтому, сделав замену переменной 
получаем:
тогда неравенство примет вид:
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
получим: 
откуда 
тогда исходное неравенство примет вид:
тогда 
откуда 
получаем 
откуда 
получаем 
откуда 
тогда имеем:
тогда имеем:
не входят в ОДЗ данного неравенства. При 
получаем, что 
и исходное неравенство равносильно неравенству
не входят в ОДЗ данного неравенства. При 
для основания логарифма справедлива оценка 
и неравенство равносильно следующему:
и 
— метод интервалов (см. рис.) и выпишем ответ: 
то есть при 
Для этих значений переменной, используя формулу 
находим:
откуда, раскладывая на множители и применяя метод рационализации, получаем:
неравенство не определено. Рассмотрим оставшиеся значения переменной.
получаем:
получаем:
тогда
Корнями квадратного уравнения 
являются числа 
и 2, поэтому 
получим:
Пусть 
тогда 
причем в левой части стоит возрастающая функция, а в правой — убывающая. При 
левая и правая части неравенства равны. Значит, решением неравенства являются числа 
Таким образом, 
Для таких значений переменной получаем:
По теореме, обратной теореме Виета, уравнение 
и 
откуда, учитывая, что 
получаем:
:
Левая часть обращается в нуль, если
Покажем, что других корней нет: действительно, в левой части уравнения стоит убывающая на ОДЗ функция, в правой — возрастающая, значит, уравнение имеет не более одного корня.
получаем:
— неверно.
получаем:
— верно.
получаем:
— неверно.
при любом значении переменной x, поэтому
