Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 646759
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x боль­ше или равно минус 6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­ве­дем ло­га­риф­мы к од­но­му ос­но­ва­нию, по­лу­чим рав­но­силь­ное не­ра­вен­ство:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 конец дроби минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 конец дроби боль­ше или равно минус 6 рав­но­силь­но \log в квад­ра­те _2x минус левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x плюс 6 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 боль­ше или равно 0.

По­ло­жим, t = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x. По тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Виета, урав­не­ние

t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс 3 умно­жить на 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 = 0

имеет корни t = 3 и t = 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3, от­ку­да, учи­ты­вая, что 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 9 боль­ше 3, по­лу­ча­ем:

t в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс 3 умно­жить на 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 9 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше или равно 3,t боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 9. конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, на­хо­дим:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше или равно 3, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 9 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 8, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 9 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше или равно 8,x боль­ше или равно 9. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; 8 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 9; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли, сгруп­пи­ро­вав сла­га­е­мые, и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x боль­ше или равно минус 6 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x умно­жить на ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 3 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 6 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 8 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 9 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x минус 8 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно 8, x боль­ше или равно 9, конец си­сте­мы . x боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 0 мень­ше x мень­ше или равно 8,x боль­ше или равно 9. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; 8 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 9; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 439
Классификатор алгебры: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026