ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 528343 Добавить в вариант

Решите неравенство: $x в квадрате логарифм по основанию 4 в квадрате x плюс 10 логарифм по основанию 3 в квадрате x меньше или равно x логарифм по основанию 4 x умножить на логарифм по основанию 3 x в степени 7 .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x логарифм по основанию 4 x=a, логарифм по основанию 3 x=b,$ тогда имеем:

$a в квадрате плюс 10b в квадрате меньше или равно 7ab равносильно левая круглая скобка a в квадрате минус 2ab правая круглая скобка минус левая круглая скобка 5ab минус 10b в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка a минус 2b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 5b правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $a в квадрате плюс 10b в квадрате меньше или равно 7ab равносильно левая круглая скобка a в квадрате минус 2ab правая круглая скобка минус левая круглая скобка 5ab минус 10b в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 2b правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 5b правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Вернёмся к исходной переменной:

$левая круглая скобка x логарифм по основанию 4 x минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка x логарифм по основанию 4 x минус 5 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: x логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 5 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $левая круглая скобка x логарифм по основанию 4 x минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка x логарифм по основанию 4 x минус 5 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: x логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 2 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x логарифм по основанию 3 x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 5 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате x левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 5 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате x левая круглая скобка x минус 2 логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате x левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: логарифм по основанию 3 4 конец дроби минус 5 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 3 в квадрате x левая круглая скобка x минус 2 логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x минус 2 логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 логарифм по основанию 3 4 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше 0 конец системы . равносильно совокупность выражений x=1,2 логарифм по основанию 3 4 меньше или равно x меньше или равно 5 логарифм по основанию 3 4. конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2 логарифм по основанию 3 4; 5 логарифм по основанию 3 4 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 285

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь