ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 514256 Добавить в вариант

Решите неравенство $\lg в степени 4 x минус 4\lg в кубе x плюс 5\lg в квадрате x минус 2 десятичный логарифм x\geqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t= десятичный логарифм x,$ тогда неравенство примет вид:

$t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 5t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0,$ $t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 5t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0,$ $t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 5t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно t в степени 4 минус 4t в кубе плюс 4t в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате плюс t в квадрате минус 2t\geqslant0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка \geqslant0,$

откуда $t\leqslant0,t=1,t\geqslant2.$

При $t\leqslant0$ получим: $десятичный логарифм x\leqslant0,$ откуда $0 меньше x\leqslant1.$

При $t=1$ получим: $десятичный логарифм x=1,$ откуда $x=10.$

При $t\geqslant2$ получим: $десятичный логарифм x больше или равно 2,$ откуда $x\geqslant100.$

Решение исходного неравенства: $0 меньше x\leqslant1,x=10,x больше или равно 100.$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 10 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 100; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: Задания 15 (С3) ЕГЭ 2015

Классификатор алгебры: Неравенства высших степеней

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь